数学基础IV——根据坐标系旋转建立欧拉微分方程解算姿态

无人机的姿态变化可以理解为机体坐标系相对参考坐标系【即地球】的旋转。

假设有参考坐标系为O1，机体坐标系为O2，矢量r。初始时O1与O2重合，r在O1上的投影为[x1,y1,z1]T，可知在O2上的投影亦为[x1,y1,z1]T。

假设O1坐标系保持不动，O2绕Z轴相对O1旋转Ψ度，此时r在O1上的投影依然为[x1,y1,z1]T，设r在O2上的投影为[x2,y2,z2]T。

通过几乎运算可知x2=x1cosΨ+y1sinΨ,y2=-x1sinΨ+y1cosΨ,z2=z1;写成矩阵形式为[x2,y2,z2]T=[cosΨ,sinΨ,0;-sinΨ,cosΨ,0;0,0,1][x1,y1,z1]T。

计C[1->2]=[cosΨ,sinΨ,0;-sinΨ,cosΨ,0;0,0,1]，表示绕Z轴旋转之后，矢量r在O1中的投影，到O2中的投影的转换。【该坐标转换在左乘O1投影之后得到O2投影】，可知C[1->2]的行列式必为1，因为矢量本身是相等的。

由此分别绕zyx【即航天欧拉角中的yaw-pitch-roll】分别旋转Ψθγ度之后的转换矩阵为：

同样的此行列式结果必为1，因为矢量本身是相等的，这个转换矩阵只是表示了同一个矢量在不同坐标系之间的投影。

当Ψθγ为小角时，【即sin(x)~~x,cos(x)~~1】，则上行列式可约为[1,Ψ,-θ;-Ψ,1,γ;θ,-γ,1]。反向旋转时，转换矩阵为正向转换矩阵的倒置矩阵。

 

上述Ψθγ角即欧拉角，由此可知欧拉角有多种次序，通常航空计算中欧拉角的次序为：

1.      yaw，Z轴，天，Ψ

2.      pitch，Y轴，北，θ

3.      roll，X轴，东，γ

 

再说矢量的乘积，前面有提到过矢量的乘积，这里重温一下，设两矢量A=[a1,a2,a3]T，B=[b1,b2,b3]T。

则有A×B=[ex,ey,ez;a1,a2,a3,b1,b2,b3]其中e1e2e3分别表示单位向量。同时也可记为

A×B =[0,-a3,a2;a3,0,-a1;-a2,a1,0][b1,b2,b3]，其结果跟上述行列式结果是对应的。

 

假设机体坐标系为m，参考坐标系为n，根据哥式定理有

dr.m=C[n->m]dr.n+wmn×r.m

其中dr.m为矢量在m坐标系上的变化率，C[n->m]n到m的变化矩阵，即0，dr.n为矢量在n坐标系上的变化率，即小角弧度，近视为陀螺仪实测数据，wmn为坐标系m相对n旋转角速度，即陀螺仪实测数据，r.m为矢量在m上的投影。则据此可建立欧拉角微分方程，最终求出C[n->m]得到Ψθγ。