二维0-1背包问题(含java实现) 动态规划
**问题描述：**给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,体积是bi,其价值为vi,背包的容量为C，容积为D。问:应该如何选择装人背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装人背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次,也不能只装入部分的物品i。试设计一个解此问题的动态规划算法,并分析算法的计算复杂性。
问题分析： m(i,j,k)是背包容量为j,体积为k,可选择物品为i,i+1,…n时0-1背包问题的最优值。则递归公式为：
max(m(i+1,j,k), m(i+1,j-wi,k-bi)+vi) ,j>=wi and k>=bi
m(i,j,k)={
m(i+1,j,k) ,0<=j=wn and k>=bn
m(n,j,k)= {
0 ，0<=j java实现：
public static void main(String[] args) {
int[] v = {6,3,5,4,6}; //价值
int[] w = {2,2,6,5,4}; //重量
int[] b = {3,2,5,7,6}; //体积
int c = 10; //背包容量
int d = 12; //背包容积
int[] x = new int[v.length];
int[][][] m = new int[v.length][c+1][d+1];
knapsack(v,w,b,c,d,m);
traceback(m,w,c,d,x);
}
public static void knapsack(int[] v,int[] w,int[] b,int c,int d,int[][][] m) {
int n = v.length-1;
//填满第n行
int jMax = Math.min(w[n]-1,c);
int kMax = Math.min(b[n], d);
for(int j=0;j<=jMax;j++)
for(int k=0;k<=kMax;k++)
m[n][j][k] = 0;
for(int j=w[n];j<=c;j++)
for(int k=b[n];k<=d;k++)
m[n][j][k] = v[n];
//填满1~n-1行
for(int i=n-1;i>0;i--) {
jMax = Math.min(w[i]-1, c);
kMax = Math.min(b[i]-1, d);
for(int j=0;j<=jMax;j++)
for(int k=0;k<=kMax;k++)
m[i][j][k] = m[i+1][j][k];
for(int j=w[i];j<=c;j++)
for(int k=b[i];k<=d;k++)
m[i][j][k] = Math.max(m[i+1][j][k], m[i+1][j-w[i]][k-b[i]]+v[i]);
}
//填第0行
if(c>=w[0] && d>=b[0]){
jMax = Math.min(w[0]-1, c);
kMax = Math.min(b[0]-1, d);
for(int j=0;j<=jMax;j++)
for(int k=0;k<=kMax;k++)
m[0][j][k] = m[1][j][k];
for(int j=w[0];j<=c;j++)
for(int k=b[n];k<=d;k++)
m[0][j][k] = Math.max(m[1][j][k], m[1][j-w[0]][k-b[0]]+v[0]);
}
//输出m数组
for(int i=0;i<=n;i++) {
for(int j=0;j<=c;j++) {
for(int k=0;k<=d;k++) {
System.out.print(m[i][j][k] + "\t");
}
//System.out.println();
}
System.out.println();
}
}
//输出哪个物品装入了背包
public static void traceback(int[][][] m,int[] w,int c, int d,int[] x) {
int n = w.length-1;
for(int i=0;i0)?1:0;
}
for(int i=0;i<=n;i++) {
System.out.print(x[i]+" ");
}
}
算法复杂度为O(ncd)
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