[基础数论]CRT中国剩余定理（模数互质与不互质）

参考

中国剩余定理（Chinese remainder theorem，简称CRT）即孙子定理，最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？——《孙子算经》

翻译成数学式子大概就是
$x\equiv 2(mod3)$
$x\equiv 3(mod5)$
$x\equiv 2(mod7)$，求解$x$

对于《孙子算经》中提出的问题，具体解法大概分三步：

1. 找出三个数，从$3$和$5$的公倍数中找出被$7$除余$1$的最小数$15$ $(15\equiv 1mod7)$
   从$3$和7的公倍数中找出被$5$除余1的最小数$21$ $(21\equiv 1mod5)$
   最后从$5$和$7$中找出除$3$余$1$的最小数$70$ $(70\equiv 1mod3)$

2. 用$15$乘$2$（$2$为最终结果除以$7$的余数），$21$乘$3$（$3$为最终结果除以$5$的余数），$70$乘$2$（$2$为最终结果除以$3$的余数），把三个乘积相加$(15\times 2+21\times 3+70\times 2)$得到$233$.

3. 用$233$除以$3,5,7$的最小公倍数$105$，得到余数$23$，即$233\equiv 23(mod105)$，这个$23$就是符合条件的最小数
   上面提到的解法用到了一个取模的性质

取模定理：两数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数扩大后仍然小于除数）。
即，如果a % b = c，那么如果 x % b = c × 2，此时有 x = a × 2；

关于中国剩余定理的其他详细情况可以去问度娘，不在此赘述友情链接

在这里给出两篇写的还不错的博客，作为补充：
中国剩余定理详解1（！！！下面绿色的图来自这篇链接博客）
中国剩余定理详解2（推理过程很详细）

模数互质

分析

把问题一般化，即给出一元线性同余方程组（形式如下所示），并求解满足条件的最小非负$x$（很显然，$x$有无穷多个）
$x\equiv a_1(mod{m}_1)$
$x\equiv a_2(mod{m}_2)$
$...$
$x\equiv a_n(mod{m}_n)$
假定$m$两两互质
在模数互质的情况下，$x$是一定有解的（稍微想一想就明白了）
令 $M=\prod m_i$，$M_i=M/m_i$，$t_i$ 为 $M_i$ 模 $m_i$ 意义下的逆元
那么，其中一定有一个解为:
$$x_0=\sum a_i\ast t_i\ast M_i$$
通解为：$x=x_0+k\ast M$
最小解为：$x=(x_0$%$M+M)$%$M$

模数互质的情况比较简单，直接上马

例题

给个板题：[洛谷P1495]曹冲养猪

#include 
#include 
using namespace std;
#define LL __int128	//long long会爆, 在下面的代码里要注意各个函数传参的类型

const int N = 10;
int n, m[N + 5], r[N + 5];

void exgcd (const LL a, const LL b, int &x, int &y) {
	if (!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return ;
	}
	exgcd (b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;
}

LL CRT () {
	LL ans = 0, lcm = 1;
	int x, y;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
		lcm *= m[i];
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		LL t = lcm / m[i];
		exgcd (t, m[i], x, y);
		x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];
		ans = (ans + t * x % lcm * r[i] % lcm) % lcm;
	}
	return (ans + lcm) % lcm;
}

void print (const LL x) {
	if (x > 9)
		print (x / 10);
	putchar (x % 10 + '0');
}

int main () {
	scanf ("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
		scanf ("%d %d", &m[i], &r[i]);
	LL ans = CRT ();
	print (ans);
	return 0;
} 

模数不互质

分析

上面讨论了模数互质的情况，下面来讨论模数不互质的情况，会比较复杂，我们采用合并方程的手段来解这种情况，首先讨论两个方程的情况(借用一位菊苣的图片，前面有复制博文链接的哦（手动跪谢）(：

对于多个方程的求解，

我们设这个$x$为$x_0$，所以，可以得到的通解为$x=x0+k\times lcm(m1,m2)$
将这个方程转化一下，可以得到一个新的同余方程
$x=x_0（mod$　$lcm（m_1,m_2））$
我们便成功的将两个方程转化为了一个方程
后面以此类推，得到最后一个$x_0$，即为我们所需要的答案。

例题

代码取模比较多，萌新们初看可能有点懵，多想一会就懂了（本蒟蒻也被整蒙了的 ）
代码给的是poj2891 Strange Way to Express Integers的Ac代码，还是比挺板的一道题，适合上手

#include 
#include 
using namespace std;
#define LL long long

const int N = 1e5;
int n;
LL m[N + 5], r[N + 5];

LL exgcd (const LL a, const LL b, LL &x, LL &y) {
	if (!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd (b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;
	return d;
}

LL excrt () {
	LL x, y, lcm = m[1], R = r[1];
	for (int i = 2; i <= n; ++ i) {
		LL d = exgcd (lcm, m[i], x, y), c = R - r[i];
		if (c % d)
			return -1;
		x = x * c / d % (m[i] / d);
		R -= lcm * x;
		lcm = lcm * m[i] / d;
		R %= lcm;
	}
	return ( R + lcm ) % lcm;
}

int main () {
	while ( scanf ("%d", &n) != EOF ) {
		for (int i = 1; i <= n; ++ i)
			scanf ("%lld %lld", &m[i], &r[i]);
		LL ans = excrt ();
		printf ("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

后记

很少写算法博客，不太会表达，以后有机会还是要来完善一下（前提是我记得），毕竟中国剩余定理在数论中还是很重要的一个版块