动态规划——1258：【例9.2】数字金字塔

1258：【例9.2】数字金字塔

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【题目描述】
观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中,从13到8到26到15到24的路径产生了最大的和86。

【输入】
第一个行包含R(1≤ R≤1000)，表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

所有的被供应的整数是非负的且不大于100。

【输出】
单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。

【输入样例】
5
13
11 8
12 7 26
6 14 15 8
12 7 13 24 11
【输出样例】
86

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这是一道经典的动态规划问题，首先先了解一下什么是动态规划
动态规划是解决多阶段决策问题的优化方法，把多个阶段的过程转化为一系列单阶段来求解。

程序的要求是，从上到下，求一条值最大的路径

首先来看，要求所走路径和数字和最大，就要计算每条路径的总和，最后比较结果。
这样做应该是属于暴力求解，而且时间复杂度在(n!)
所以这里用到了动态规划，可以看出，每次的a[i][j]代表着，它所在的这条路径下的最大路径和，而运行的顺序决定了它的每一步都不会干扰到上一步，所以每一个a[i][j]都是独立自由的。在遍历的时候，不会影响到数据本身。

#include
#include
//I want to be a big shot.
using namespace std;

const int N=1010;

int n;
int a[N][N];

int main(){
	cin>>n;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 1; j <= i; j ++)
			cin >> a[i][j];//读入数据
	
	for(int i = n; i >= 1; i--)//从底层开始枚举
		for(int j = i; j >= 1; j--)//从右向左枚举，两层循环最终停留再a[1][1]上，即为最终结果。
			a[i][j]+=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);//当前数字加上上一层中相邻的两个数中的最大值
	
	cout << a[1][1];
	
	return 0;
	
}

下面介绍第二种方法，按照从上到下的顺序来递加
下面介绍程序

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int a[N][N], f[N][N];//a[i][j]表示当前数值，f[i][j]表示当前的最大值

int main(){
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		for (int j = 1; j <= i; j ++ )
			cin >> a[i][j];//读入数据
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )//从第一层开始枚举
		for (int j = 1; j <= i; j ++ )//从左向右开始枚举
			f[i][j] = a[i][j] + max(f[i - 1][j], f[i- 1][j - 1]);
	//在a[i][j]的时候，这样走的一条路径就是到a[i][j]位置拥有最大值的路径
	//那么当到了最后一层的时候，最大值就在这一层中的某个位置
	
	int maxn = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) maxn = max(maxn, f[n][i]);//枚举一下这一层，找到最大值。

    cout << maxn << endl;
    
    return 0;
}