『动态规划』数塔问题

题目描述

相信大家都写过数字三角形问题，题目很简单求最大化一个三角形数塔从上往下走的路径和。走的规则是：（i，j）号点只能走向（i+1，j）或者（i+1，j+1）。如下图是一个数塔，映射到该数塔上行走的规则为：从左上角的点开始，向下走或向右下走直到最底层结束。

   1
   3 8
   2 5 0
   1 4 3 8
   1 4 2 5 0
   

   路径最大和是1+8+5+4+4 = 22，1+8+5+3+5 = 22或者1+8+0+8+5 = 22。

   小S觉得这个问题so easy。于是他提高了点难度，他每次ban掉一个点（即规定哪个点不能经过），然后询问你不走该点的最大路径和。
   当然他上一个询问被ban掉的点过一个询问会恢复（即每次他在原图的基础上ban掉一个点，而不是永久化的修改）。

题目大意

求在去掉某一个点的情况下，数字三角形的最大值。

题解

设$f[i][j]$表示从$(1,1)$到$(i,j)$所经过的最大路径，有：$$f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j]$$
设$g[i][j]$表示从最后一列走到$(i,j)$所经过的最大路径，初始化为$f[n][j]=a[n][j],$方程有：$$g[i][j]=max(g[i+1][j],g[i+1][j+1])+a[i]][j]$$

不经过某一个点，其实就相当于一定经过同一行的其他店，枚举同一行且没有被ban掉的点$(x,y),$则一定经过这个点的答案是：$$f[i][j]+g[i][j]-a[i][j]$$
因为重复累加了两边$a[i][j],$所以需要减去。

在这道题中，如果题目中要求一定不经过某一个状态，我们可以考虑一定经过和它同类的状态来限制。

代码如下：

#include 

using namespace std;

int n,m;
int t[301];
int v[301];
long long c[301];
long long f[301][90001];

void Sort(void)
{
	for (int i=1;i<n;++i)
	    for (int j=i+1;j<=n;++j)
	        if (t[i]>t[j]) 
	        {
	        	swap(t[i],t[j]);
	        	swap(v[i],v[j]);
	        	swap(c[i],c[j]);
	        }
	return;
}

int main(void)
{
	freopen("market.in","r",stdin);
	freopen("market.out","w",stdout);
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;++i) 
		scanf("%lld %d %d",c+i,v+i,t+i);
	Sort();
	int V = n*300;
	for (int i=1;i<=V;++i) f[0][i] = 1e15;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=0;j<=V;++j)
        {
        	f[i][j] = f[i-1][j];
        	if (j-v[i] >= 0) f[i][j] = min(f[i][j], f[i-1][j-v[i]]+c[i]);
        }
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=V-1;j>=0;--j)
            f[i][j] = min(f[i][j+1], f[i][j]);
    //f[i][j] 表示 前i件物品 价值至少为j的最小代价
	for (int i=1,T,M;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d %d",&T,&M);
		int pos = upper_bound(t+1,t+n+1,T)-t-1;// T <= t[pos]
		int ans = upper_bound(f[pos]+1,f[pos]+V+1,M)-f[pos]-1;// m <= f[pos][ans]
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}