HDU 2065 "红色病毒"问题（生成函数）

Description

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和 Internet I n t e r n e t 上传播的”红色病毒”不相上下,被称为”红色病毒”,经研究发现,该病毒及其变种的 DNA D N A 的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为 N N 的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由 A,B,C,D A , B , C , D 四个字母组成;
(2) A A 出现偶数次(也可以不出现);
(3) C C 出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当 N=2 N = 2 时,所有满足条件的字符串有如下 6 6 个: BB,BD,DB,DD,AA,CC B B , B D , D B , D D , A A , C C .
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

Input

每组输入的第一行是一个整数 T T ,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数 N(1≤N<264) N ( 1 ≤ N < 2 64 ) ,当 T=0 T = 0 时结束.

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

Sample Input

4
1
4
20
11
3
14
24
6
0

Sample Output

Case 1: 2
Case 2: 72
Case 3: 32
Case 4: 0

Case 1: 56
Case 2: 72
Case 3: 56

Solution

考虑 A,B,C,D A , B , C , D 四个字母数量的指数型生成函数

​ PA(x)=PC(x)=∑i≥01(2i)!x2i=ex+e−x2 P A ( x ) = P C ( x ) = ∑ i ≥ 0 1 ( 2 i ) ! x 2 i = e x + e − x 2 ， PB(x)=PD(x)=∑i≥01i!xi=ex P B ( x ) = P D ( x ) = ∑ i ≥ 0 1 i ! x i = e x

故四种字母取若干构成一个排列的生成函数 F(x)=P2A(x)⋅P2B(x)=(ex+e−x2)2⋅e2x=e4x+2⋅e2x+14 F ( x ) = P A 2 ( x ) ⋅ P B 2 ( x ) = ( e x + e − x 2 ) 2 ⋅ e 2 x = e 4 x + 2 ⋅ e 2 x + 1 4

答案即为 n!⋅[xn]F(x)=n!4⋅(4nn!+2⋅2nn!)=4n−1+2n−1 n ! ⋅ [ x n ] F ( x ) = n ! 4 ⋅ ( 4 n n ! + 2 ⋅ 2 n n ! ) = 4 n − 1 + 2 n − 1 ，其中 [xn]F(x) [ x n ] F ( x ) 表示 F(x) F ( x ) 的 xn x n 项的系数

Code

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
#define mod 100
int Pow(int a,ll b,int c)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T,Case;
    ll n;
    while(scanf("%d",&T),T)
    {
        Case=1;
        while(T--)
        {
            scanf("%lld",&n);
            int ans=Pow(2,n-1,mod);
            ans=(ans*ans+ans)%mod;
            printf("Case %d: %d\n",Case++,ans);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}