bzoj5004 开锁魔法II【概率dp&&生成函数】
题目大意：
给一个n的点的图，每个点只有一条出边和入边（组成了若干环），现在从中选k个点，问每个环至少选中一个点的概率。
n、k<=300;
解题思路：
大概的思路是求可行方案数除以总方案数 (nk) ( n k ) 。
设 f[i][j] f [ i ] [ j ] 表示前i个环选了j个点的方案数，则有 f[i][j]=f[i−1][j−s]∗(size[i]s) f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j − s ] ∗ ( s i z e [ i ] s ) ， size[i] s i z e [ i ] 为第i个环的大小。
其实如果可以也能用生成函数，这样n、k可以开到100000.
考虑 Fi F i 表示第i个环选不同的点的方案的生成函数，则 Fi=∑j=1(size[i]j)xj F i = ∑ j = 1 ( s i z e [ i ] j ) x j ，将所有 Fi F i 相乘后的 xk x k 的系数即为方案数，使用分治NTT即可。
普通代码：
#include0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
}
T=getint();
while(T--)
{
n=getint(),k=getint();m=0;
for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=getint(),vis[i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!vis[i])size[++m]=dfs(i);
for(int i=0;i<=m;i++)
for(int j=0;j<=k;j++)
f[i][j]=0;
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=k;j++)
for(int s=1;s<=j&&s<=size[i];s++)
f[i][j]=f[i][j]+f[i-1][j-s]*c[size[i]][s];
ans=f[m][k]/c[n][k];
printf("%0.9lf\n",ans);
}
return 0;
} 生成函数：
#includepos[i]=(i&1)?pos[i>>1]>>1|(k>>1):pos[i>>1]>>1;
}
void NTT(int *f,int len,int on)
{
for(int i=0;iif(i<pos[i])swap(f[i],f[pos[i]]);
for(int i=1,num=1;i1,num++)
{
int wn=(on==1?w[num]:w_inv[num]);
for(int j=0;j1))
{
int wi=1;
for(int k=j;kint u=f[k],v=(ll)f[k+i]*wi%mod;
f[k]=(u+v)%mod,f[k+i]=(u-v+mod)%mod;
wi=(ll)wi*wn%mod;
}
}
}
if(on==-1)
for(int i=0;i*w_inv[0]%mod;
}
int multi(int *A,int *B,int len)
{
w_inv[0]=Pow(len,mod-2);
rev(len);
NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
for(int i=0;i*B[i]%mod;
NTT(A,len,-1);--len;
while(!A[len])--len;
return len;
}
int solve(int l,int r)
{
if(l==r)return a[l].size()-1;
int mid=l+r>>1;
int l1=solve(l,mid),l2=solve(mid+1,r);
int len=1;
while(len<=l1+l2)len<<=1;
for(int i=0;i<=l1;i++)A[i]=a[l][i];
for(int i=l1+1;i0;
for(int i=0;i<=l2;i++)B[i]=a[mid+1][i];
for(int i=l2+1;i0;
a[l].clear(),a[mid+1].clear();
len=multi(A,B,len);
for(int i=0;i<=len;i++)a[l].push_back(A[i]);
return len;
}
int main()
{
//freopen("lx.in","r",stdin);
fac[0]=1;
for(int i=1;i1]*i%mod;
fac_inv[N-1]=Pow(fac[N-1],mod-2);
for(int i=N-2;i>=0;i--)fac_inv[i]=(ll)fac_inv[i+1]*(i+1)%mod;
int len=1,num=0;
while(len<(N<<1))len<<=1,w[++num]=Pow(g,(mod-1)/len),w_inv[num]=Pow(w[num],mod-2);
T=getint();
while(T--)
{
n=getint(),k=getint(),m=0;
for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=getint(),vis[i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])size[++m]=dfs(i);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
a[i].push_back(0);
for(int j=1;j<=size[i];j++)a[i].push_back(C(size[i],j));
}
solve(1,m);a[1].clear();
printf("%d\n",(ll)a[1][k]*Pow(C(n,k),mod-2)%mod);
}
return 0;
}