数字三角形问题--动态规划练习(1)

问题描述：

给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

                                                          

对于给定的由n行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。

输入

输入的第1行是数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99之间。

输出

输出到的第1行中的数是计算出的最大值。

分析：

利用动态规划的基本步骤来分析，首先找出最优解结构，l[i]表示1到i层路径的最优解，则l[i-1]亦为最优解(证明：如果l[i-1]不为最优解，则1到i-1层有另外一条路径使得l[i-1]为最优解，这样就会致使l[i]路径不为最优解，矛盾)。最优解结构：

这里用一位数组存储数字三角形。

伪代码：

l[i]: 1到i层的最优解

l[1] = a[1]

for i<-2 to n

    for j<-1 to i

        l[i] = 0

        if l[i] < a[i*(i-1)/2+j] + l[i-1]

               l[i] = a[i*(i-1)/2+j] + l[i-1]

output l[n]