扩展欧几里得算法模板（希望永远不要搞懂了）

扩展欧几里得

上述谈到的最大公约数算法是数学家欧几里德提出的，同时，他也提出了扩展欧几里德算法来解决整数二元一次不定方程问题。

整数二元一次不定方程

形如a*x+b*y=c(a,b均不为0)的方程，a,b,c都是整数，求(x,y)的整数解。

1 判断是否有解

整数二元一次不定方程有解的充分必要是gcd(a,b)|c。如果不能整除则无解。

2 扩展欧几里德求特解

欧几里德给出了计算a*x+b*y=gcd(a,b)的解法

1. long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
2. {
3. if (b==0) { x=1,y=0; return a; }
4. long long d=exgcd(b,a%b,x,y);
5. long long tmp=x;
6. x=y;
7. y=tmp-a/b*y;
8. return d;
9. }

3 通解

a*x+b*y=gcd(a,b)在有解并求出特解(x,y)的情况下，通解可以表示为 

对于一般式a*x+b*y=c，如果有解，只需把a*x+b*y=c的特解乘上c/gcd(a,b)即可得到其特解，通解还是一样的公式。

4 例子

求出特解和一个通解

1. int main(int argc, char* argv[])
2. {
3. long long a,b,c;
4. scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
5. long long x,y,d;
6. d=exgcd(a,b,x,y);
7. if (c%d!=0) printf("No solution!\n");
8. else
9. {
10. a/=d,b/=d,c/=d;
11. x*=c,y*=c;
12. printf("特解: %lld %lld\n",x,y);
13. printf("一个通解: %lld %lld\n",x+b,y-a);
14. }
15. return 0;
16. }

请思考一下，如何求出不定方程的正整数解个数。

 依然很简短，相比欧几里德算法，只是多加了几个语句而已。

    这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y

    扩展欧几里德有什么用处呢？

    求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元

    什么叫乘法逆元？

    

    这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

    这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1

    看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

    接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？

可以这样思考：

    x 的通解不是 x0 + m*t 吗？

    那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

    可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？

    当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：