线性代数笔记（5）：矩阵的对角化

一、可对角化、特征值和特征向量的定义

Defs: 1) A linear operator T: V→V，on a finite-dimensional vector space V is called diagonalizable if ∃ an ordered basis β s.t.[T]_β is a diagonal matrix.

2) Let A ∈ M_n×n(F), then A is said to be diagonalizable if L_A is diagonalizable. Here L_A: Fⁿ→Fⁿ, L_A(x)=Ax, x∈F。

Defs: 1) Let T be a linear operator on a vector space V. If ∃ a 非零元素 v ∈ V and a scalar λ∈F s.t. T(v)=λv,
then λ is an eigenvalue（特征值） of T and v is its corresponding eigenvector（特征向量）.

2) Let A ∈ M_n×n(F), if ∃ a 非零元素 v ∈ Fⁿ and a scalar λ∈F s.t. A(v)=λv, then λ is an eigenvalue of A and v is its associated eigenvectors. 

因为T是线性的，所以一个特征值所对应的特征向量有无穷多个，当我们找到一个特征向量，将其乘以一个非零的scalar，所得之结果仍为特征向量。

二、可对角化的充分必要条件

Thm5.1：

1. A linear operator T on a finite-dimensional vector space V is diagonalizable ⇔ ∃ an ordered basis β={v₁, v₂, ... , v_n} for V, consisting of eigenvectors of T. In such case, let D=[T]_β , then D_jj is the eigenvalue corresponding to the
   eigenvector v_j .
2. Let A ∈ M_n×n(F), then A is diagonalizable ⇔ ∃ an ordered basis β={v₁, v₂, ... , v_n} for Fⁿ with v_j being eigenvalues.
3. Assume T is diagonalizable. Let β' be be another ordered basis for V. Then . In particular, if T = L_A and β' is the standard basis for Fⁿ, then [T]_β=Q^-1AQ, where Q = (v₁, v₂, ... , v_n).
   

三、特征值和特征向量的计算

Thm5.2 Let A ∈ M_n×n(F), Then λ is an eigenvalue of A⇔det(A-λI)=0.

Def:

1. Let A ∈ M_n×n(F), Then f(λ) = det(A-λI) is called the characteristic polynomial (特征多项式) of A (eigenvalues 即是 A的特征多项式之零根).
2. Let T be a linear operator on an n-dimensional vector space V with ordered basis β. We define the characteristic polynomial f(λ) of T to be the characteristic polynomial of A= [T]_β. That is, f(λ) = det(A-λI).
   

Thm5.4 v∈V is an eigenvector of T corresponding to λ ⇔ 非零元素 v 位于T -λI的零空间中，即 v∈N(T -λI) .

四、可对角化的充分条件

在Section2中，我们已经给出了可对角化的一个充要条件：一个线性算子（或一个矩阵）的特征值相对应的特征向量如果能构成向量空间的一个基底，那么这个线性算子（或矩阵）就是可对角化的。但是这个条件显然用起来并不那么方便，你要先算特征值，再计算对应的特征向量，然后还要检查特征向量是否线性独立。我们希望有一个更加简洁的条件来检验是否可对角化。为了得出这个更好用的条件，需要从下面这个Thm 5.5开始讨论。

Thm 5.5 Let 是 λ_i T的特征值，v_i是对应的特征向量。如果λ_i 各不相同，其中i = 1,2,...,k，那么{v₁, v₂, ... , v_k}是线性独立的。（Hint：证明的方法主要是数学归纳法，这里不做详述）

Remark：Thm 5.5的逆命题不成立。Thm 5.5说明一组各不相同的特征值所对应的特征向量彼此线性独立。但是如果有一组彼此线性独立的特征向量，其对应回去的特征值是否各不相同是无法保证的。

一个简单的反例就是单位矩阵，例如 I = {1 0; 0 1}，当λ=1时，任何不为0的向量都是对应的特征向量，但这些彼此独立的特征向量对应的特征值都是1。

推论：Let dim(V) = n, and T: V→V是线性的，或者A ∈ M_n×n(F)，如果T（或A）有n个不同的特征值，⇒ T（或A）是可对角线化的。

这个推论是很显然的，因为T（或A）有n个不同的特征值，根据Thm5.5，它就有n个线性独立的特征向量。而dim(V) = n，所以这n个线性独立的特征向量就构成了一组基底。再由Thm5.1就可以得出T（或A）可对角线化的结论。

当然，这个推论的逆命题仍然是不成立的，也就是说它不是可对角线化的充要条件。为了要得到一个更强的结论，我们还要讨论，如果特征多项式有重根，那么矩阵（或算子）还可以对角线化吗？

五、几个重要的定义

后面我们需要用到如下几个重要的定义。

Def 1: A polynomial f(t) in P(F) splits over F, if f(t) can be factored as a product of the first degree polynomials in P(F)。

F对于这个定义非常重要，必须要先指定。例如，F=R，那么(t² + 1)(t - 2) does not split over R. However, it does split over C。

Thm 5.6：T: F→F，或A ∈ M_n×n(F)，是可对角化的 ⇒ T（或A）的特征多项式splits over F。

Def 2: Let f(t) and λ 分别是T的特征多项式和特征值。那么λ 的代数重数（algebraic multiplicity）是最大的正整数k for which (1-λ)^k is the factor of f(t)。

Def 3: 我们把E_λ = {v∈V: T(v) = λv} = {v∈V: (T - λI)(v) = 0} 定义为的eigenspace。

也就是说E_λ 是个集合，这个集合收集了T的所有特征向量，以及零向量（把零向量也一同收进来的原因就在于使其形成一个子空间，这样才可以进一步去讨论维度的问题）。Remark: E_λ 是V的一个子空间。

既然E_λ 是V的一个子空间，那么就可以定义它的维度。于是又有了如下定义。

Def 4: 定义dim(E_λ) 是λ的几何重数（geometric multiplicity），记为gm(λ)。

例如：对于单位矩阵 I = {1 0; 0 1}∈ M_2×2(R)，它的特征多项式 f(t) = det(I-tI)=(1-t)² ，所以λ = 1的am=2。

另外，很容易发现任何二维向量都是2×2单位矩阵的特征向量（因为Ix=1x，x对于任意二维向量都成立），所以可以知道E_λ=1 = R² ，即dim(E_λ=1)=2，所以λ = 1的gm=2。

关于am和gm有如下一些结论（它在证明Section 6中的定理时会被用到）：

1）(Thm 5.7) 1 ≤ gm(λ) ≤ am(λ)

2）(Thm 5.8) Let λ_i be distinct eigenvalues of T, where i = 1, 2, ..., k. Let S_i be a finite 线性独立 subset of eigenspace E_λi. Then S = S₁∪S₂∪...∪S₃ 是线性独立的。

该定理的图形化解释如下图所示：

六、可对角化的条件

我们希望有一个更加简洁的条件来检验是否可对角化。而且是充分必要的条件。下面这个定理表明在某些条件下，只要检查特征值的一些情况就可以判断对角化的情况。

注意k可以是小于等于n的，所以其实这定理是允许有重根的情况。这个定理的详细证明可以参考文献【1】。下面来看几个例子。首先，请问下面这个矩阵A可以对角化吗？

为此要先来求它的特征多项式，即

可以看到它有两个不同的特征值，当λ = 4时 am =1 ，而且根据Thm 5.7可知其gm =1。当 λ = 3时 am =2 ，根据dimenstion theroy还可以算得此时gm = 1。由于定理的要求是所有的几何重数都等于代数重数，显然这里无法满足，所以矩阵A是不能对角化的。

再来看一个算子的例子。T : P₂(R)→P₂(R), T(f(x))=f(1)+f'(0)x+(f'(0)+f''(0))x².

P₂(R)→P₂(R)表示线性算子T的作用是把一个二次多项式转换到一个二次多项式，符号P₂(R)表示定义在R上的2次多项式。现在问T可否对角化？（应该说明对于一个算子T而言，要利用定理5.9就必须要先求出它的矩阵表示。如果选择的基底不同，那么对应的矩阵表示其实也会不同，但是最终的特征多项式并不会有影响，所以其实对于算子而言，如果要检查其可否对角化，那么大可以随便选择一个基底来求其矩阵表示）

对于二次多项式来说，可以选择标准基底 β = {1, x, x²}，然后求算子T的矩阵表达，则有

T(1) = 1, T(x) = 1+ x + x², T(x²) = 1 + 2x²

然后把系数依次摆成矩阵就得到了T的一个矩阵表示法，即

在求出它的特征多项式为f(t) = (1-t)²(2-t), 于是可知当t=2时，am=gm=1，当t=1时，am=gm=2。所以根据Thm 5.9可知T是可对角线化的。

既然算子T是可以对角线化的。根据定义其实就表明可以找到一个基底r，使得T的矩阵表示[T]_r是一个对角线矩阵。上面我们使用的标准基底β所对应的矩阵表示不是一个对角矩阵。那么下面我们想问，如何找出那样一个基底r ？

基本的找法可以总结为：由[T]_β找Q，再找r。因为对于一个矩阵[T]_β而言，说其实可以对角化的就意味着存在一个Q，使得Q^-1[T]_βQ=D，而D是一个对角线矩阵。根据定理5.1(3)可知首先要找的就是特征向量，然后由特征向量来把Q组出来。现在[T]_β有两个特征值，当t=1时，其am=2，所以可以找出2个线性独立的特征向量，当t=2时，am=1，所以可以找出一个特征向量，用这三个向量就可以组成Q。

当t=1时，就要先求[T]_β-tI的零空间，即解下面这个方程组

解得x₂ + x₃ = 0, 所以只有写出满足这个条件的两个线性独立的向量即可，例如(1, 0, 0)^T和(0, -1, 1)^T。

当t=2时，就要先求[T]_β-tI的零空间，即解下面这个方程组

解得-x₁ + x₂ + x₃ = 0, x₂ = 0, 所以可以写出向量为(1, 0, 1)^T。把这三个向量合起来就得到了Q，即

这也就得到了r = {1,  -x + x², 1+ x²}，用这个基底再来写T的矩阵表示，就会得到一个对角线矩阵。

本文主要根据台湾交通大学开放课程线性代数（莊重 特聘教授主讲）之授课内容整理，并参考以下书籍：

【1】S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E Spence, 4th edition, Linear Algebra, Prentice-Hall, 2003

【2】David C. Lay. 刘深泉，等译. 线性代数及其应用（原书第3版），机械工业出版社，2005