线性代数学习笔记（二十五）——向量组的秩（二）
本篇笔记首介绍了矩阵的行秩和列秩，即矩阵的行秩等于矩阵的列秩等于矩阵的秩，而且矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩；还介绍了求矩阵行秩和列秩的方法，即化为阶梯形矩阵；最后重点介绍了极大线性无关组的求法，根据矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量间的线性关系，将矩阵化为行简化阶梯形，然后直接写出极大线性无关组和其向量的线性表示。
1 矩阵的行秩和列秩
举例：矩阵 A = [ 1 1 1 1 1 3 0 2 1 1 5 6 9 1 0 0 1 1 ] A=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&3\\0&2&1&1&5&6\\9&1&0&0&1&1\end{bmatrix} A=⎣⎡109121110110151361⎦⎤，
取出所有的行形成行向量，
α 1 = ( 1 1 1 1 1 3 ) \alpha_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&3\end{pmatrix} α1=(111113)，
α 2 = ( 0 2 1 1 5 6 ) \alpha_2=\begin{pmatrix}0&2&1&1&5&6\end{pmatrix} α2=(021156)，
α 3 = ( 9 1 0 0 1 1 ) \alpha_3=\begin{pmatrix}9&1&0&0&1&1\end{pmatrix} α3=(910011)，
全体 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3称为矩阵 A A A的行向量组。
取出所有的列形成列向量，
β 1 = ( 1 0 9 ) , β 2 = ( 1 2 1 ) , β 3 = ( 1 1 0 ) \beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\9\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} β1=⎝⎛109⎠⎞,β2=⎝⎛121⎠⎞,β3=⎝⎛110⎠⎞，
β 4 = ( 1 1 0 ) , β 5 = ( 1 5 1 ) , β 6 = ( 3 6 1 ) \beta_4=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\beta_5=\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix},\beta_6=\begin{pmatrix}3\\6\\1\end{pmatrix} β4=⎝⎛110⎠⎞,β5=⎝⎛151⎠⎞,β6=⎝⎛361⎠⎞，
全体 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 , β 6 \beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5,\beta_6 β1,β2,β3,β4,β5,β6称为矩阵 A A A的列向量组。
定义：矩阵行 向 量 组 的 秩 ‾ \underline{向量组的秩} 向量组的秩称为矩阵的行秩，矩阵 列 向 量 组 的 秩 ‾ \underline{列向量组的秩} 列向量组的秩称为矩阵的列秩。
上述例子中，行向量有 3 3 3个，行向量组的秩最大为 3 3 3；而列向量有 6 6 6个，列向量组的秩最大为 6 6 6。那么矩阵的行秩和列秩会不会不一样呢？
答案是否定的。
因为列向量虽然有 6 6 6个，但它是 3 3 3维的，所以秩最大也是 3 3 3。
那么矩阵的行秩和列秩是否相等呢？
定理3.3.4：对任何矩阵 A A A，均有： A 的 行 秩 = A 的 列 秩 = r ( A ) \color{red}{A的行秩=A的列秩=r(A)} A的行秩=A的列秩=r(A)。
矩阵的秩是用非零子式定义的，而向量组的秩是用极大无关组定义的，定义方式完全不同，但最终竟然相等！
举例：矩阵 A = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}\color{red}{1}&\color{red}{0}&0&0\\\color{red}{0}&\color{red}{1}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡1000010000000000⎦⎥⎥⎤，
其最高阶数的非0子式为 [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} [1001]，
所以 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2；
很明显要找它的行秩或列秩，那么就先找到其极大无关组，如
使用 β 1 = ( 1 0 0 0 ) , β 2 = ( 0 1 0 0 ) \beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} β1=⎝⎜⎜⎛1000⎠⎟⎟⎞,β2=⎝⎜⎜⎛0100⎠⎟⎟⎞可以表示所有的列向量，如
β 1 = 1 × β 1 + 0 × β 2 + 0 × β 3 + 0 × β 4 \beta_1=1\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4 β1=1×β1+0×β2+0×β3+0×β4，
β 2 = 0 × β 1 + 1 × β 2 + 0 × β 3 + 0 × β 4 \beta_2=0\times\beta_1+1\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4 β2=0×β1+1×β2+0×β3+0×β4，
β 3 = 0 × β 1 + 0 × β 2 + 0 × β 3 + 0 × β 4 \beta_3=0\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4 β3=0×β1+0×β2+0×β3+0×β4，
β 4 = 0 × β 1 + 0 × β 2 + 0 × β 3 + 0 × β 4 \beta_4=0\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4 β4=0×β1+0×β2+0×β3+0×β4，
可以看出，这两列是“最重要”且不可缺少的，用这两列就可以表示其他所有的列，
而这两个列向量 β 1 , β 2 \beta_1,\beta_2 β1,β2就是矩阵 A A A列向量组 β 1 , β 3 , β 1 , β 4 \beta_1,\beta_3,\beta_1,\beta_4 β1,β3,β1,β4的极大无关组，
所以 r ( β 1 , β 3 , β 1 , β 4 ) = 2 r(\beta_1,\beta_3,\beta_1,\beta_4)=2 r(β1,β3,β1,β4)=2，
即矩阵 A 的 列 秩 为 2 A的列秩为2 A的列秩为2，
故 A 的 列 秩 = r ( A ) A的列秩=r(A) A的列秩=r(A)，
同理可得， A 的 行 秩 = r ( A ) A的行秩=r(A) A的行秩=r(A)，
故 A 的 行 秩 = A 的 列 秩 = r ( A ) A的行秩=A的列秩=r(A) A的行秩=A的列秩=r(A)。
定理3.3.5：（考研用的多）矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩。
即： r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } \color{red}{r(AB){\le}min\{r(A),r(B)\}} r(AB)≤min{r(A),r(B)}，
显然，可以推广到有限个矩阵相乘的情形上去：
r ( A 1 A 2 . . . A n ) ≤ m i n 1 ≤ i ≤ n r ( A i ) \color{red}{r(A_1A_2...A_n){\le}\underset{1{\le}i{\le}n}{min}r(A_i)} r(A1A2...An)≤1≤i≤nminr(Ai)。
2 求秩举例
例1：求矩阵 A = [ 3 3 3 2 − 1 5 − 5 3 − 13 4 − 3 11 ] A=\begin{bmatrix}3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡32−543−13−335−1311⎦⎥⎥⎤的行秩和列秩。
解：使用初等行变换化为阶梯形，
A = [ 3 3 3 2 − 1 5 − 5 3 − 13 4 − 3 11 ] → 初 等 行 变 换 [ 1 1 1 0 − 3 3 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{bmatrix}\xrightarrow[]{初等行变换}\begin{bmatrix}1&1&1\\0&-3&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡32−543−13−335−1311⎦⎥⎥⎤初等行变换⎣⎢⎢⎡10001−3001300⎦⎥⎥⎤，
由此可见 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2，所以矩阵 A A A的行秩和列秩都是 2 2 2。
例2：求向量组 α 1 = ( 1 , − 2 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 4 , 8 , 0 ) , α 3 = ( − 2 , 4 , − 2 , 3 ) , α 4 = ( 3 , − 6 , 0 , − 6 ) \alpha_1=(1,-2,2,-1),\alpha_2=(2,-4,8,0),\alpha_3=(-2,4,-2,3),\alpha_4=(3,-6,0,-6) α1=(1,−2,2,−1),α2=(2,−4,8,0),α3=(−2,4,−2,3),α4=(3,−6,0,−6)的秩，并判断是否线性相关。
解：以 α 1 T , α 2 T , α 3 T , α 4 T \alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T α1T,α2T,α3T,α4T为列向量构成矩阵 A A A，并将矩阵 A A A实施初等行变换，化为阶梯形矩阵，
A = [ 1 2 − 2 3 − 2 − 4 4 − 6 2 8 − 2 0 − 1 0 3 − 6 ] → 初 等 行 变 换 [ 1 2 − 2 3 0 2 1 − 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{bmatrix}\xrightarrow[]{初等行变换}\begin{bmatrix}1&2&-2&3\\0&2&1&-3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡1−22−12−480−24−233−60−6⎦⎥⎥⎤初等行变换⎣⎢⎢⎡10002200−21003−300⎦⎥⎥⎤
显然， r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2，所以 r ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 2 < 4 r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=2<4 r(α1,α2,α3,α4)=2<4，
故 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 α1,α2,α3,α4线性相关。
3 求极大无关组
定理3.3.6：若对 m × n m{\times}n m×n的矩阵 A A A仅实施初等行变换化为矩阵 B B B，那么矩阵 A A A的列向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn同矩阵 B B B的列向量组 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn有完全相同的线性关系。
以上可以简述为：矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量间的线性关系。
举例： A = [ 1 0 5 0 1 3 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix} A=⎣⎡100010530⎦⎤，
若将矩阵 A A A实施初等行变换得到 B B B矩阵，即
A = [ 1 0 5 0 1 3 0 0 0 ] → 将 第 二 行 加 到 第 三 行 将 第 一 行 加 到 第 三 行 [ 1 0 5 0 1 3 1 1 8 ] = B A=\begin{bmatrix}1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}\xrightarrow[将第二行加到第三行]{将第一行加到第三行}\begin{bmatrix}1&0&5\\0&1&3\\1&1&8\end{bmatrix}=B A=⎣⎡100010530⎦⎤将第一行加到第三行将第二行加到第三行⎣⎡101011538⎦⎤=B，
矩阵 A A A的列向量组为：
α 1 = ( 1 0 0 ) , α 2 = ( 0 1 0 ) , α 3 = ( 5 3 0 ) \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix} α1=⎝⎛100⎠⎞,α2=⎝⎛010⎠⎞,α3=⎝⎛530⎠⎞，
矩阵 B B B的列向量组为：
β 1 = ( 1 0 1 ) , β 2 = ( 0 1 1 ) , β 3 = ( 5 3 8 ) \beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}5\\3\\8\end{pmatrix} β1=⎝⎛101⎠⎞,β2=⎝⎛011⎠⎞,β3=⎝⎛538⎠⎞，
很明显 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2线性无关，而 β 1 , β 2 \beta_1,\beta_2 β1,β2是 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2的接长向量，故 β 1 , β 2 \beta_1,\beta_2 β1,β2也是线性无关，
再看 α 3 = 5 α 1 + 3 α 2 \alpha_3=5\alpha_1+3\alpha_2 α3=5α1+3α2，同时 β 3 = 5 β 1 + 3 β 2 \beta_3=5\beta_1+3\beta_2 β3=5β1+3β2，
故矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量间的线性关系。
★ ★ ★ \color{red}{★★★} ★★★ 例3.3.3：求向量组 α 1 = ( 1 , − 2 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 4 , 8 , 0 ) , α 3 = ( − 2 , 4 , − 2 , 3 ) , α 4 = ( 3 , − 6 , 0 , − 6 ) \alpha_1=(1,-2,2,-1),\alpha_2=(2,-4,8,0),\alpha_3=(-2,4,-2,3),\alpha_4=(3,-6,0,-6) α1=(1,−2,2,−1),α2=(2,−4,8,0),α3=(−2,4,−2,3),α4=(3,−6,0,−6)的一个极大无关组，并给出其余向量用该极大无关组的线性表示。
解：
① 不管是行向量还是列向量，均将向量组按列构成矩阵
A = [ 1 2 − 2 3 − 2 − 4 4 − 6 2 8 − 2 0 − 1 0 3 − 6 ] A=\begin{bmatrix}1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡1−22−12−480−24−233−60−6⎦⎥⎥⎤，
② 只用初等行变换化成行简化阶梯形
→ 只 做 初 等 行 变 换 [ 1 0 − 3 6 0 1 1 2 − 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \xrightarrow[]{只做初等行变换}\begin{bmatrix}1&0&-3&6\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix} 只做初等行变换⎣⎢⎢⎡10000100−321006−2300⎦⎥⎥⎤，
③ 首非零元所在的列做极大无关组；
β 1 = ( 1 0 0 0 ) , β 2 = ( 0 1 0 0 ) \beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} β1=⎝⎜⎜⎛1000⎠⎟⎟⎞,β2=⎝⎜⎜⎛0100⎠⎟⎟⎞是极大线性无关组，
④ 其余向量表示系数直接写出来
β 3 = − 3 β 1 + 1 2 β 2 \beta_3=-3\beta_1+\frac{1}{2}\beta_2 β3=−3β1+21β2，
β 4 = 6 β 1 − 3 2 β 2 \beta_4=6\beta_1-\frac{3}{2}\beta_2 β4=6β1−23β2，
⑤ 写出 α \alpha α的极大无关组和线性表示
由定理3.3.6可知， α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2是 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 α1,α2,α3,α4的一个极大无关线，而且
α 3 = − 3 α 1 + 1 2 α 2 \alpha_3=-3\alpha_1+\frac{1}{2}\alpha_2 α3=−3α1+21α2，
α 4 = 6 α 1 − 3 2 α 2 \alpha_4=6\alpha_1-\frac{3}{2}\alpha_2 α4=6α1−23α2，
注：第③④可以省略。
举例：如果最后化成的行简化阶梯形为 [ 1 0 0 0 1 0 1 3 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1&0&0&0&1\\0&1&3&0&1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡10000100030000101120⎦⎥⎥⎤，
[ α 3 α 5 ↓ ↓ 1 0 0 0 1 0 1 3 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 ↑ ↑ ↑ α 1 α 2 α 4 ] \begin{bmatrix}&&\alpha_3&&\alpha_5\\&&\downarrow&&\downarrow\\1&0&0&0&1\\0&1&3&0&1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0\\\uparrow&\uparrow&&\uparrow&\\\alpha_1&\alpha_2&&\alpha_4&\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1000↑α10100↑α2α3↓03000010↑α4α5↓1120⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤,
所以 α 1 , α 2 , α 4 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_4 α1,α2,α4是极大无关组，
α 3 = 0 α 1 + 3 α 2 + 0 α 4 \alpha_3=0\alpha_1+3\alpha_2+0\alpha_4 α3=0α1+3α2+0α4，
α 5 = α 1 + α 2 + 2 α 4 \alpha_5=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_4 α5=α1+α2+2α4。
常见错误：没有化成行简化阶梯形，如只化成阶梯形。
举例： [ 1 1 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1&1&2&1\\0&1&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix} ⎣⎡100110200110⎦⎤，
α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2是极大无关组，
α 3 = ? \alpha_3=? α3=?
α 4 = ? \alpha_4=? α4=?
4 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_3.3 向量组的秩（二）