线性代数学习笔记（二十六）——线性方程组

本篇笔记通过经典的“鸡兔同笼”问题引出了方程组，然后使用消元法对方程组进行求解，并将求解过程与矩阵初等行变换进行对应，最后还将方程组写成了矩阵的形式。

1 方程组引例

为什么会有线性方程组呢？在解决实际问题时会用到方程组，比如小学就接触到的“鸡兔同笼”问题。

举例：鸡和兔子一共有$8$只，其中腿共有$20$只，问有几只鸡？几只兔子？
分析：小学生一般使用“抬脚法”或“落脚法”解题。
解：因鸡是$2$条腿，兔子为$4$条腿，
抬脚法：让兔子都抬起$2$只脚，此时应该共有脚$2\times 8=16$只，而原来共$20$只脚，相差$20-16=4$只脚，为什么会差$4$只脚呢？因为每只兔子抬了$2$只脚，所以有$4÷2=2$只兔子，故有$8-2=6$只鸡；
落脚法：让每只鸡都再长出$2$只脚，$:-）$，这样的话共有$4\times 8=32$只脚，比原来的$20$只脚多了$12$只，为什么会多$12$只脚呢？因为每只鸡多了$2$只脚，所以鸡是$12\times 2=6$只，兔子是$8-6=2$只。

2 消元法解方程组

当然，初高中之后使用的是解方程的方法，并使用消元法解题。
假设鸡是$x$只，兔子$y$为只，则
$\{\begin{array}{ll}x+y=8& ①\\ 2x+4y=20& ②\end{array}$

$①式\times (-2)加到②式$，
$\{\begin{array}{ll}x+y=8& ③\\ 2y=4& ④\end{array}$

$④式\times \frac{1}{2}$，
$\{\begin{array}{ll}x+y=8& ⑤\\ y=2& ⑥\end{array}$

$⑥式\times (-1)加到⑤式$
$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=2\end{array}$

3 方程组的变换

通过上述过程，不难发现消元法解方程，可以对方程组做了三种变换：
$\{\begin{array}{l}①交换两个方程的位置\\ ②用非零数乘以某个方程\\ ③某方程的l倍加到另一方程上去\end{array}$

这三种变换似曾相识，和原来矩阵的三种初等行变换完全相同，所以消元法解方程可以对应对矩阵的初等行变换。

在上述解题过程中，你会发现很多符号都“没什么用”，而且需要重复写，如$x,y,+,=,\{$等，其实对于方程组
$\{\begin{array}{l}x+y=8\\ 2x+4y=20\end{array}$

使用以下矩阵就可以代表所有的信息
$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 8\\ 2& 4& 20\end{array}\right]$

上述分块矩阵左边为未知数的系数，分块矩阵右边表示等号右边的常数项。

类似地，其他方程也可以写成矩阵的形式
$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 8\\ 0& 2& 4\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 8\\ 0& 1& 2\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 6\\ 0& 1& 2\end{array}\right]$

上面方程组的变换对应到矩阵，就是矩阵的初等行变换。

4 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_4.1 线性方程组