线性代数 02.04 分块矩阵

§第二章第四节分块矩阵 

一、分块矩阵的定义 

把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖线分成若干小块,每一小块都叫做矩阵的子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.

例如:将3×4矩阵 
A=⎛ ⎝ ⎜ a 11 a 21 a 31  a 12 a 22 a 32  a 13 a 23 a 33  a 14 a 24 a 34  ⎞ ⎠ ⎟  
分块形式如下 
(1) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 −−a 31  a 12 a 22 −−a 32  |||| a 13 a 23 −−a 33  a 14 a 24 −−a 34  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =(A 11 A 21  A 12 A 22  )A 11 =(a 11 a 21  a 12 a 22  )A 12 =(a 13 a 23  a 14 a 24  )A 21 =(a 31  a 32  )A 22 =(a 33  a 34  ) 

(2) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 −−a 31  |||| a 12 a 22 −−a 32  a 13 a 23 −−a 33  |||| a 14 a 24 −−a 34  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =(A 11 A 21  A 12 A 22  A 13 A 23  ) 

(3) 按列分块
⎛ ⎝ ⎜ a 11 a 21 a 31  ||| a 12 a 22 a 32  ||| a 13 a 23 a 33  ||| a 14 a 24 a 34  ⎞ ⎠ ⎟ =(A 11  A 12  A 13  A 14  ) 

(4)
⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 −−a 21 −−a 31  a 12 −−a 22 −−a 32  a 13 −−a 23 −−a 33  a 14 −−a 24 −−a 34  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ A 11 A 21 A 31  ⎞ ⎠ ⎟  

二、分块矩阵的运算 

1.分块矩阵的加法 

同型矩阵,分法相同,对应的子块相加.
设A和B均m×n矩阵,分法如下:A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ A 11 ⋮A s1  ⋯⋯ A 1r ⋮A sr  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ B 11 ⋮B s1  ⋯⋯ B 1r ⋮B sr  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 其中A ij 与B ij 的行数相同,列数相同,那么A+B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ A 11 +B 11 ⋮A s1 +B s1  ⋯⋯ A 1r +B 1r ⋮A sr +B sr  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 其运算律与矩阵的加法相同. 

2.分块矩阵的数乘 

设分块矩阵
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ A 11 ⋮A s1  ⋯⋯ A 1r ⋮A sr  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ,λ为数,那么λA=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ λA 11 ⋮λA s1  ⋯⋯ λA 1r ⋮λA sr  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 其运算律与数乘矩阵相同. 

3.分块矩阵的乘法 

设A为m×l矩阵,B为l×n矩阵,分块成A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A 11 ⋯A i1 ⋯A s1  A 12 ⋯A i2 ⋯A s2  ⋯⋯⋯⋯⋯ A 1t ⋯A it ⋯A st  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ B 11 ⋯B i1 ⋯B t1  B 1j ⋯B ij ⋯B tj  ⋯⋯⋯⋯⋯ B 1r ⋯B ir ⋯B tr  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 其中A i1 ,A i2 ,⋯,A it 列数分别等于B 1j ,B 2j ,⋯,B tj 的行数,那么AB=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ C 11 C 21 ⋯C s1  C 12 C 22 ⋯C s2  ⋯⋯⋯⋯ C 1 rC 2 r⋯C s r ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 其中,C ij =A i1 B 1j +A i2 B 2j +⋯+A it B tj (i=1,2,⋯,s;j=1,2,⋯,r) 

例1.设A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 10−11 0121 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1−11−1 020−1 1042 0110 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,求A+B 
解：如下分块A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 10−−−11 01−−21 ||−−|| 00−−10 00−−01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =(EA 21  0E )B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1−1−−1−1 02−−0−1 ||−−|| 10−−42 01−−10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =(B 11 B 21  EB 22  ) 
A+B=(E+B 11 A 21 +B 21  0+EE+B 22  )=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2−100 0320 1052 0111 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  

例1.设A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 10−11 0121 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1−11−1 020−1 1042 0110 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,求AB. 
解:把A、B分块成A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 10−−−11 01−−21 ||−−|| 00−−10 00−−01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =(EA 21  0E )B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1−1−−1−1 02−−0−1 ||−−|| 10−−42 01−−10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =(B 11 B 21  EB 22  )AB=(EA 21  0E )(B 11 B 21  EB 22  )=(B 11 A 21 B 11 +B 21  EA 21 +B 22  )其中A 21 B 11 +B21=(−11 21 )(1−1 02 )+(1−1 0−1 )=(−30 42 )+(1−1 0−1 )=(−2−1 41 )A 21 +B 22 =(−11 21 )+(42 10 )=(33 31 )于是AB=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1−1−2−1 0241 1033 0131 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  

4.分块矩阵的转置 

设分块矩阵
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ A 11 ⋮A s1  ⋯⋯ A 1r ⋮A sr  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 则A T =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ A T 11 ⋮A T 1r  ⋯⋯ A T s1 ⋮A T sr  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟  

5.分块对角矩阵(准对角矩阵) 

设
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A 1  A 2  ⋱ A s  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 其中A i (i=1,2,⋯,s)都是方子块.显然|A|=|A 1 ||A 2 |⋯|A s |. 
若|A i |≠0(i=1,2,⋯,s),则|A|≠0,所以 
A −1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ A −1 1  A −1 2  ⋱ A −1 s  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  

例2.设A=⎛ ⎝ ⎜ 500 032 011 ⎞ ⎠ ⎟ ,求A −1  

解:分块，得准对角矩阵⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 5−−00 |−−|| 0−−32 0−−11 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =(A 1  A 2  )A 1 =(5 )A 2 =(32 11 )|A|=|A 1 ||A 2 |=5×1=5≠0,有逆.A −1 1 =15 A −1 2 =A 2 =(1−2 −13 )A −1 =⎛ ⎝ ⎜ 15 00 01−2 0−13 ⎞ ⎠ ⎟  

例3.设A的伴随矩阵A ∗ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0011 0008 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 且ABA −1 =BA −1 +3E,求矩阵B. 
解:由|A ∗ |=|A| n−1 |,有|A| 3 =8,得|A|=2.在ABA −1 =BA −1 +3E的两边左乘A ∗ ,右乘A得2B=A ∗ B+6E(2E−A ∗ )B=6E故B=6(2E−A ∗ ) −1 由于2E−A ∗ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 001−1 000−6 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ (2E−A ∗ ) −1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 001−16  000−16  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 6000 0600 006−1 000−1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  

6.分块矩阵的应用 

设A为m×n矩阵,将A按行分块,得A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α 1 α 2 ⋮α m  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 其中α i (i=1,2,⋯,m)是A的第i行.将A按列分块,得A=(β 1  β 2  ⋯ β n  )其中β j (j=1,2,⋯,n)是A的第j列. 

记A=(a ij ) m×n ,X=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮x n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,b=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ b 1 b 2 ⋮b n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 ⋮a m1  a 12 a 22 ⋮a m2  ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a mn  b 1 b 2 ⋮b m  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 其�