一个有理不定方程问题

今天的题目如下：

来自App“爱数学爱打卡”.jpeg

首先可以看出来

和

是两组解，但是应该不止这么多吧。这个形式虽然很优雅对称，但是实际上太不好处理了，我们变换一下形式。

问题转化

令，则原方程化为：

且依然是寻找正有理数解。
这就好办多了，为啥呢，因为给定，若为1，则可取任意有理数，若不为1，则的正数解为：

因此我们只需要探讨取哪些不为1的正有理数时，y也为有理数。

问题解决

设:

则：

显然，的分子分母都要是某个整数的次方才行。设：

为正数

当为正数时，，因此：

夹逼的形式表明：

因此或。若，则。因此至少有一个为1。
若为1，则：
，是一族正有理数解。
若为1，则：

显然只有等于1时才是有理数，此时回到了为1的情况。

为负数

类似可得：

结论

综上，原不定方程的所有正整数的解为：
以及，