hdu 2177 取(2堆)石子游戏 (博弈)

题意：有两堆石子，两人轮流取石子，轮到某人时，有两种取法，要么从两堆石子中同时取出一定数量的石子，要么只从一堆中取任意数量的石子，不能不取。不能取的人判为输。

普通思想：对于博弈问题，首先想到的就是sg函数。所以我们先从小到大的看局面。可以得出，对于每一种状态（x，y）x，y为石子堆。要么（x，y）本身是必败态，要么（x，y）就是必胜态，因为每种必胜态的（x，y）局面都可以通过同时从两堆取相同数量的石子或者从某一堆去一定数量的石子，使得对手面对的是必败态。下面介绍如何得出的：

（0,0）为必败态，（1,2）为必败态，这个是显然的，很显然了。不是那些大神的博客里的那些显然，那些显然一点都不显然。。。

然后可以推出：（3,5）为必败态，而（2，1）这种相反的就不用说了。对于某种必败态来说，其x，y值是确定的，若只改变其中一个值，则局面必然是必胜态。因为只要拿走多余的，则必然可以使得对手面对必败态。因此，我们只要从x=0开始一直往后面推算，只要x的值在之前的x和y中没有出现过，那么必然有一个y>x，使得（x，y）是必败态，而这个差值，根据推算，可以得出是逐一递增的，也就是每相邻的两个必败态的y-x的值只相差1.如：

0：（0,0）

1：（1,2）

2：（3,5）

3：（4,7）

4：（6,10）

...

根据上面的推式，我们可以用一个for循环得到所有的必败态。将其存放到一个数组里。然后我们再用一个一维数组保存y-x的差值得必败态的x的值，数组下标即为y-x。

根据上面两个数组，我们就可以计算出每一个局面先手的胜负，然后在输出的时候，我们要考虑的就是如果当前局面是必败态，则输出0，如果不是，则先看同时取，

对于同时取：根据y-x的差值，得到离其最近的必败态的x值，用当前x减去之就是同时取的石子数（若x小于它，则不能同时取），输出并记录，避免重复输出。

对于一堆取：根据x值所对应的必败态的y，与当前的y对比，若当前的大，则直接输出x的必败态，如比当前小，则判断y的必败态的y，与当前的x比，若比当前的小，则输出y的必败态。若小，不可能出现这种情况。（证明很简单，根据bk =  ak + k,可以得证）

到此所有情况都考虑到了，1A。（其实此题就是威佐夫博奕，下面会讲）

普通思想代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MAX__ = 1000010;
int vis[MAX__],dis[MAX__];

void init(){
    int i;
    memset(vis,-1,sizeof(vis));
    vis[0] = 0;
    int tmp = 1;
    for(i = 1;i < MAX__;i++){
        if(vis[i]==-1){
            vis[i] = i+tmp;
            dis[tmp] = i;
            if(i+tmp < MAX__) vis[i+tmp] = i;
            tmp++;
        }
    }
}

int main(){
    //freopen("d:\\1.txt","w",stdout);
    int a,b, tmp1, tmp2;
    init();
    while(~scanf("%d%d",&a,&b),a||b){
        if(vis[a] == b || vis[b] == a){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        printf("1\n");
        if(a == b){
            printf("0 0\n");
            if(vis[a] < b)  {
                printf("%d %d\n",min(a,vis[a]),max(a,vis[a]));
            }
            continue;
        }
        if(a == 0 || b == 0){
            printf("0 0\n");
            continue;
        }
        if((b-a == vis[dis[b-a]] - dis[b-a])
            ||(b-a == dis[b-a] - vis[dis[b-a]])){
                if(dis[b-a] < a){
                    tmp1 = min(vis[dis[b-a]],dis[b-a]);
                tmp2 = max(vis[dis[b-a]],dis[b-a]);
                printf("%d %d\n",min(vis[dis[b-a]],dis[b-a])
                       ,max(vis[dis[b-a]],dis[b-a]));
                }

            }
        if(vis[a] < b){


            if( tmp1 != min(a,vis[a]))
            printf("%d %d\n",min(a,vis[a]),max(a,vis[a]));
        }
        if(vis[b] < a){

            if( tmp1 != min(b,vis[b]))
            printf("%d %d\n",min(b,vis[b]),max(b,vis[b]));
        }
    }
    return 0;
}

 

威佐夫博奕：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同

 

时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

 

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示

两堆物品的数量并称其为 局势 ，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们

称为 奇异局势 。前几个奇异局势是：

（0，0）、

（1，2）、

（ 3，5）、

（4，7）、

（6， 10）、

（8，13）、

（9，15）、

（11，18）、

（12，20）。

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

     ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k  （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数)

同样对应两种取法：

同取：利用公式：abs（temp-a）==abs（temp+k-b）且temp < a 则可以同时取，输出之

一堆取：对于局面（a，b），将1至b的所有奇异局势与a，b对比，若有一个值是相等的，则即为答案，输出之。

 

威佐夫博奕代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int main()
{
    int a,b,temp,temp2,k,i, tmp;
    while(scanf("%d%d",&a,&b),a+b)
    {
        if(a>b)
            swap(a,b);
        k=b-a;    //求出差值
        temp=k*(1.0+sqrt(5.0))/2.0;    //求出差值对应的开头数
        if(a==temp)    //奇异局势
            printf("0\n");
        else
        {
            printf("1\n");
            if(abs(temp-a)==abs(temp+k-b) && temp < a){
            //取两堆中相同数量，判断差值是否相等
                printf("%d %d\n",temp,temp+k);
                tmp = temp;
            }

            //一堆中取
            if(a==0)    //0 0情况，第一种奇异局势
                printf("0 0\n");
            for(i=1;i<=b;i++)
            {
                temp=i*(1.0+sqrt(5.0))/2.0;    //开头
                if(temp == tmp)continue;
                temp2=temp+i;    

                if(temp==a)   
                    printf("%d %d\n",a,temp2);
                else if(temp2==a)
                    printf("%d %d\n",temp,a);
                else if(temp2==b)
                    printf("%d %d\n",temp,b);
            }
        }
    }
    return 0;
}