正整数分解为几个连续自然数之和

题目：输入一个正整数，若该数能用几个连续正整数之和表示，则输出所有可能的正整数序列。

一个正整数有可能可以被表示为n(n>=2)个连续正整数之和，如：
15=1+2+3+4+5
15=4+5+6
15=7+8

有些数可以写成连续N（>1）个自然数之和，比如14=2+3+4+5；有些不能，比如8.那么如何判断一个数是否可以写成连续N个自然数之和呢？

一个数M若可以写成以a开头的连续n个自然数之和，则M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=n*a+n*(n-1)/2，要求a!=0，否则就是以a+1开头的连续n-1个整数了，也就是要求(M-(n+n*(n-1)/2))%n==0，即(M-(n*(n+1)/2))%n==0，这样就很容易判断一个数可不可以写成连续n个自然数的形式了，遍历n=2…sqrt(M)*2，还可以输出所有解。

void divide(int num)
{
	int i,j,a;
	for(i=2; i<=sqrt((float)num)*2; ++i)
	{
		if((num-i*(i-1)/2)%i==0)
		{
			a=(num-i*(i-1)/2)/i;
			if(a>0)
			{
				for(j=0; j

第二个问题是什么样的数可以写成连续n个自然数之和，什么样的数不能？
通过编程实验发现，除了2^n以外，其余所有数都可以写成该形式。下面说明为什么。
若数M符合条件，则有M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2，而2*a+n-1与n肯定一个为奇数一个为偶数，即M一定要有一个奇数因子，而所有2^n都没有奇数因子，因此肯定不符合条件。
再证明只有M有一个奇数因子，即M!=2^n，M就可以写成连续n个自然数之和。假设M有一个奇数因子a，则M=a*b。
1)若b也是奇数，只要b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数；将这条结论里的a和b调换，仍然成立。15=3*5=1+2+3+4+5=4+5+6.
2)若b是偶数，则我们有一个奇数a和一个偶数b。
2.1)若b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数。24=3*8=7+8+9.
2.2)若(a+1)/2-b>0，M就可以写成以(a+1)/2-b开头的连续2*b个自然数。38=19*2=8+9+10+11.
上述两个不等式必然至少有一个成立，所以可以证明，只要M有一个奇数因子，就一定可以写成连续n个自然数之和。

另一个正整数分解的算法：
/*
sum(i,j)为i累加到j的和 
令 i=1 j=2 
if sum(i,j)>N i++ 
else if sum(i,j) else cout i...j 
*/

C++实现：

#include 
using namespace std;

int add(int m,int n)
{
    int sum=0;
    for(int i=m;i<=n;i++)
        sum+=i;
    return sum;
}

void divide(int num)
{
    int i=1,j=2,flag;
    int sum=0;
    while(i<=num/2)
    {
     sum=add(i,j);
     while(sum!=num)
     {
        if(sum>num)
            i++;
        else
            j++;
        sum=add(i,j);
     }
     for(int k=i;k<=j;k++)
        cout<>num;
    divide(num);
    return 0;
}