CF1316E - Team Building 状态压缩+DP

CF1316E - Team Building

题意

$N$个人，一个队伍中有$K$个位置，
$a_i$为第$i$人作为观众的权值
$s_{i,j}$为第$i$人作为担任队伍的第$j$个位置的权值
现在选出$P$个队员和$K$个观众，使得权值之和最大
$(2\le N\le 10^5,1\le P\le 7,1\le K,P+K\le N)$

题解

因为$P$比较小，所以可以用状态压缩来表示目前所选的位置，用$state$来记
比较容易想的DP是$f[i][j][k][state]$
当前选到第$i$人，已经选了$j$人作为观众，$k$人作为队员，目前选的位置状态为$state$的最大权值
转移方程就不写了，复杂度O(N^2)以上，直接排除
从题目的数据来看，应该是一个$O(2^{7}N)$左右的算法

现在我想到，如果已经将所有人按照观众的权值从大到小排好序，那就可以贪心了
即后面的人如果进队伍将前面的人所占位置替换后，前面被换下来的人当观众就行(从大到小排序)
这样想没什么问题，所以我就这么写了下去
但是我还得记一下，前面换下来那个人是哪个

所以我这里状态设计是这样的：

struct State {
    ll v, p[7];//v为权值, p[j]为第j个位置的人是第几个人
} f[1 << 7];//f[state]为选到第i个人, 状态state下最大的v

转移过程：

for (int i = 1; i <= N; i++)//选到第i人
        for (int state = (1 << P) - 1; state >= 0; state--) {//当前状态为state
            //full判断这个state是否每一个1都对应有队员(因为最开始都没有对应队员, p[j]为0)
            //calc计算队员个数，即state中1的个数
            if (full(state) && i - calc(state) <= K)//如果满足那就可以加观众
                f[state].v += a[i].a;
            for (int bit = 0; bit < P; bit++)
                if ((1 << bit) & state) {//改变队员
                    //pstate为前一个状态, pos为pstate的bit位队员
                    int pstate = (1 << bit) ^ state, pos = f[pstate].p[bit];
                    ll val = f[pstate].v - a[pos].s[bit] + a[i].s[bit] + a[pos].a;//替换后的v值
                    if (val > f[state].v) {//如果更大就更新
                        f[state] = f[pstate];
                        f[state].v = val;
                        f[state].p[bit] = i;
                    }
                }
        }

时间复杂度$O(7\ast 2^7\ast N)$

完整代码

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX = 1e5 + 10;

int N, P, K;
queue<int> q;

struct Node {
    ll a, s[7];
    bool operator < (const Node &rhs) const {
        return a > rhs.a;
    }
} a[MAX];

struct State {
    ll v, p[7];
} f[1 << 7];

int full(int state) {
    for (int bit = 0; bit < P; bit++)
        if (((1 << bit) & state) && !f[state].p[bit]) return false;
    return true;
}

int calc(int state) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < P; i++) cnt += (f[state].p[i] != 0);
    return cnt;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &N, &P, &K);
    for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%lld", &a[i].a);
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 0; j < P; j++)
            scanf("%lld", &a[i].s[j]);
    sort(a + 1, a + 1 + N);
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int state = (1 << P) - 1; state >= 0; state--) {
            if (full(state) && i - calc(state) <= K) f[state].v += a[i].a;//add audience
            for (int bit = 0; bit < P; bit++)
                if ((1 << bit) & state) {//change team member
                    int pstate = (1 << bit) ^ state, pos = f[pstate].p[bit];
                    ll val = f[pstate].v - a[pos].s[bit] + a[i].s[bit] + a[pos].a;
                    if (val > f[state].v) {
                        f[state] = f[pstate];
                        f[state].v = val;
                        f[state].p[bit] = i;
                    }
                }
        }
    printf("%lld\n", f[(1 << P) - 1].v);

    return 0;
}