HDU 5909 Tree Cutting 树形DP+快速沃尔什变换

题目大意:给出一棵树,每个点有一个点权,求对于每个 i[0,m) 输出有多少个连通诱导子图的异或和为 i
n1000 m<210

别问我为什么隔了这么久突然跑回来更blog……我只是在填以前剩下的坑而已。。。
(我花了一整个高三去打游戏,然后花了一整个大一补高三的内容,到了大二,我退学了2333)

FWT

定义:
对于一个长为 n=2k 的数组 A ,定义 A0 为这个数组的前 2k1 项, A1 为这个数组的后 2k1 项, A=(A0,A1)
A±B={A[0]±B[0],A[1]±B[1],...,A[n1]±B[n1]}
AB={A[0]B[0],A[1]B[1],...,A[n1]B[n1]}
AB={ij=0A[i]B[j],...,ij=n1A[i]B[j]}
=(A0B0+A1B1,A0B1+A1B0)

易证 运算满足交换律和结合律,且由乘法分配律易得:

A(B+C)=AB+AC

定义 Fwt(A) 为定义在数组 A 上的一个运算,定义如下:
Fwt(A)={(Fwt(A0+A1),Fwt(A0A1))An>1n=1
性质1:
Fwt(A±B)=Fwt(A)±Fwt(B)
证明:容易发现 Fwt(A) 的每一项都是 A[0],A[1],...,A[n1] 的一个线性组合,故对加法满足分配律

性质2:
Fwt(AB)=Fwt(A)Fwt(B)
证明:数学归纳法
n=1 时显然成立
设该公式对于长度 n/2 的数组均成立,则:
    Fwt(AB)
=Fwt(A0B0+A1B1,A0B1+A1B0)
=(Fwt(A0B0+A1B1+A0B1+A1B0) ,
      Fwt(A0B0+A1B1A0B1A1B0) )
=(Fwt((A0+A1)(B0+B1)),Fwt((A0A1)(B0B1)) )
=(Fwt(A0+A1)Fwt(B0+B1),Fwt(A0A1)Fwt(B0B1))
=(Fwt(A)0Fwt(B)0,Fwt(A)1Fwt(B)1)
=Fwt(A)Fwt(B)

公式真尼玛长- - 是我证麻烦了么- -

这样我们就可以在 O(n) 的时间内计算 AB 了……等等
逆运算呢?
……

Dwt(Fwt(A))=Dwt(Fwt(A0+A1),Fwt(A0A1))
=Dwt(Fwt(A0)+Fwt(A1),Fwt(A0)Fwt(A1))
Dwt(A)=(Dwt(A0+A12),Dwt(A0A12))

Dwt(Fwt(A))=(Dwt(Fwt(A0)),Dwt(Fwt(A1)))
=(A0,A1)=A

完美。

变换时间复杂度 O(nlogn) ,计算时间复杂度 O(n) ,逆变换时间复杂度 O(nlogn)

回来看题,令 f[x][j] 表示第x个点为根的连通诱导子图中异或和为j的数量,那么 f[x]={0,0,...,0,1,0,...}(f[y]+{1,0,0,...}) ,其中第一个数组的第 a[x] 位为1,其余都为0
用Fwt加速运算,时间复杂度 O(mlogm+nm)

#include 
#include 
#include 
#include 
#define M 1100
#define MOD 1000000007
using namespace std;

struct edge{
    int to,next;
}table[M<<1];
int head[M],tot;
void Add(int x,int y)
{
    table[++tot].to=y;
    table[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}

int n,m,d;

void FWT(int a[],int n,int type/*1-FWT,-1-DWT*/)
{
    if(n==1) return ;
    for(int i=0;i>1;i++)
    {
        a[i]+=a[i+(n>>1)];
        a[i+(n>>1)]=a[i]-(a[i+(n>>1)]<<1);
        a[i]%=MOD;(a[i+(n>>1)]+=MOD)%=MOD;
        if(type==-1)
        {
            a[i]=(MOD+1ll>>1)*a[i]%MOD;
            a[i+(n>>1)]=(MOD+1ll>>1)*a[i+(n>>1)]%MOD;
        }
    }
    FWT(a,n>>1,type);FWT(a+(n>>1),n>>1,type);
}

struct abcd{
    int a[M];
    abcd() {}
    abcd(bool)
    {
        memset(a,0,sizeof a);
    }
    int& operator [] (int x)
    {
        return a[x];
    }
    void FWT(int type)
    {
        ::FWT(a,d,type);
    }
    friend abcd operator + (abcd x,abcd y)
    {
        abcd z(true);
        for(int i=0;ireturn z;
    }
    friend abcd operator * (abcd x,abcd y)
    {
        abcd z(true);
        for(int i=0;ilong long)x[i]*y[i])%MOD;
        return z;
    }
}f[M],zero,ans;

void Initialize()
{
    for(d=1;d1);
    memset(f,0,sizeof f);
    memset(&zero,0,sizeof zero);
    memset(&ans,0,sizeof ans);
    zero[0]=1;zero.FWT(1);
    memset(head,0,sizeof head);
    tot=1;
}

void Tree_DP(int x,int from)
{
    for(int i=head[x];i;i=table[i].next)
        if(table[i].to!=from)
        {
            Tree_DP(table[i].to,x);
            f[x]=f[x]*(f[table[i].to]+zero);
        }
    ans=ans+f[x];
}

int main()
{
    int T;

    for(cin>>T;T;T--)
    {
        cin>>n>>m;
        Initialize();
        for(int i=1,x;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            f[i][x]=1;
            f[i].FWT(1);
        }
        for(int i=1,x,y;iscanf("%d%d",&x,&y);
            Add(x,y);Add(y,x);
        }
        Tree_DP(1,0);
        ans.FWT(-1);
        for(int i=0;iprintf("%d%c",ans[i],i==m-1?'\n':' ');
    }
    return 0;
}

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