HDU 5909 Tree Cutting 树形DP+快速沃尔什变换

题目大意：给出一棵树，每个点有一个点权，求对于每个 i∈[0,m) 输出有多少个连通诱导子图的异或和为 i
n≤1000 ， m<210

别问我为什么隔了这么久突然跑回来更blog……我只是在填以前剩下的坑而已。。。
(我花了一整个高三去打游戏，然后花了一整个大一补高三的内容，到了大二，我退学了2333)

FWT

定义：
对于一个长为 n=2k 的数组 A ，定义 A0 为这个数组的前 2k−1 项， A1 为这个数组的后 2k−1 项， A=(A0,A1)
A±B={A[0]±B[0],A[1]±B[1],...,A[n−1]±B[n−1]}
A∗B={A[0]∗B[0],A[1]∗B[1],...,A[n−1]∗B[n−1]}
A⊕B={∑i⊕j=0A[i]∗B[j],...,∑i⊕j=n−1A[i]∗B[j]}
=(A0⊕B0+A1⊕B1,A0⊕B1+A1⊕B0)

易证 ⊕ 运算满足交换律和结合律，且由乘法分配律易得：

A⊕(B+C)=A⊕B+A⊕C

定义 Fwt(A) 为定义在数组 A 上的一个运算，定义如下：
Fwt(A)={(Fwt(A0+A1),Fwt(A0−A1))An>1n=1
性质1：
Fwt(A±B)=Fwt(A)±Fwt(B)
证明：容易发现 Fwt(A) 的每一项都是 A[0],A[1],...,A[n−1] 的一个线性组合，故对加法满足分配律

性质2：
Fwt(A⊕B)=Fwt(A)∗Fwt(B)
证明：数学归纳法
n=1 时显然成立
设该公式对于长度 n/2 的数组均成立，则：
    Fwt(A⊕B)
=Fwt(A0⊕B0+A1⊕B1,A0⊕B1+A1⊕B0)
=(Fwt(A0⊕B0+A1⊕B1+A0⊕B1+A1⊕B0) ,
      Fwt(A0⊕B0+A1⊕B1−A0⊕B1−A1⊕B0) )
=(Fwt((A0+A1)⊕(B0+B1)),Fwt((A0−A1)⊕(B0−B1)) )
=(Fwt(A0+A1)∗Fwt(B0+B1),Fwt(A0−A1)∗Fwt(B0−B1))
=(Fwt(A)0∗Fwt(B)0,Fwt(A)1∗Fwt(B)1)
=Fwt(A)∗Fwt(B)

公式真尼玛长- - 是我证麻烦了么- -

这样我们就可以在 O(n) 的时间内计算 A⊕B 了……等等
逆运算呢？
……

Dwt(Fwt(A))=Dwt(Fwt(A0+A1),Fwt(A0−A1))
=Dwt(Fwt(A0)+Fwt(A1),Fwt(A0)−Fwt(A1))
令 Dwt(A)=(Dwt(A0+A12),Dwt(A0−A12))
则
Dwt(Fwt(A))=(Dwt(Fwt(A0)),Dwt(Fwt(A1)))
=(A0,A1)=A

完美。

变换时间复杂度 O(nlogn) ，计算时间复杂度 O(n) ，逆变换时间复杂度 O(nlogn) 。

回来看题，令 f[x][j] 表示第x个点为根的连通诱导子图中异或和为j的数量，那么 f[x]={0,0,...,0,1,0,...}⊕(f[y]+{1,0,0,...}) ，其中第一个数组的第 a[x] 位为1，其余都为0
用Fwt加速运算，时间复杂度 O(mlogm+nm)

#include 
#include 
#include 
#include 
#define M 1100
#define MOD 1000000007
using namespace std;

struct edge{
    int to,next;
}table[M<<1];
int head[M],tot;
void Add(int x,int y)
{
    table[++tot].to=y;
    table[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}

int n,m,d;

void FWT(int a[],int n,int type/*1-FWT,-1-DWT*/)
{
    if(n==1) return ;
    for(int i=0;i>1;i++)
    {
        a[i]+=a[i+(n>>1)];
        a[i+(n>>1)]=a[i]-(a[i+(n>>1)]<<1);
        a[i]%=MOD;(a[i+(n>>1)]+=MOD)%=MOD;
        if(type==-1)
        {
            a[i]=(MOD+1ll>>1)*a[i]%MOD;
            a[i+(n>>1)]=(MOD+1ll>>1)*a[i+(n>>1)]%MOD;
        }
    }
    FWT(a,n>>1,type);FWT(a+(n>>1),n>>1,type);
}

struct abcd{
    int a[M];
    abcd() {}
    abcd(bool)
    {
        memset(a,0,sizeof a);
    }
    int& operator [] (int x)
    {
        return a[x];
    }
    void FWT(int type)
    {
        ::FWT(a,d,type);
    }
    friend abcd operator + (abcd x,abcd y)
    {
        abcd z(true);
        for(int i=0;ireturn z;
    }
    friend abcd operator * (abcd x,abcd y)
    {
        abcd z(true);
        for(int i=0;ilong long)x[i]*y[i])%MOD;
        return z;
    }
}f[M],zero,ans;

void Initialize()
{
    for(d=1;d1);
    memset(f,0,sizeof f);
    memset(&zero,0,sizeof zero);
    memset(&ans,0,sizeof ans);
    zero[0]=1;zero.FWT(1);
    memset(head,0,sizeof head);
    tot=1;
}

void Tree_DP(int x,int from)
{
    for(int i=head[x];i;i=table[i].next)
        if(table[i].to!=from)
        {
            Tree_DP(table[i].to,x);
            f[x]=f[x]*(f[table[i].to]+zero);
        }
    ans=ans+f[x];
}

int main()
{
    int T;

    for(cin>>T;T;T--)
    {
        cin>>n>>m;
        Initialize();
        for(int i=1,x;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            f[i][x]=1;
            f[i].FWT(1);
        }
        for(int i=1,x,y;iscanf("%d%d",&x,&y);
            Add(x,y);Add(y,x);
        }
        Tree_DP(1,0);
        ans.FWT(-1);
        for(int i=0;iprintf("%d%c",ans[i],i==m-1?'\n':' ');
    }
    return 0;
}