进制转换的简单运算

常见的进制转换就是十进制、二进制、八进制、十六进制之间的转换，那么如果给你一个等式，让你判断在哪种进制下该等式成立？这类型的题该怎么求解。接下来通过两个例题讲解一下：

例1.   如果等式 15*4=112 成立，那么用了下列哪一种进制？

         A. 6      B. 7       C. 8        D. 9

第一种比较笨的办法就是将选项带入，把15、4、112分别转换，看哪一个成立。

第二种方法就是将个位数字相乘，然后对进制取余，若余数与等式右边的结果值的各位相等，那么就是用了该进制。

15的个位数是5，将5*4，得20，那么20再分别对6、7、8、9取余，112的个位数是2，若余数等于2，那么就是用了该进制，显而易见，20只有对6取余才是2，所以这道题的答案是A选项。

例2.   假设在n进制下，等式 567*456=150216 成立，求n的值。

         A. 9       B. 10       C. 12          D. 18

按照例1中的第一种方法求解显然不现实，运算量太大，所以这题用第二种方法求解。

567与456的个位数相乘得42，那么42对9、10、12、18分别取余，只有对10取余的结果值不为6，所以只能排除B选项，然后我们就需要对十位进行这样的运算，那么上面的等式就可以表示为：

(5*n^2+6*n+7) * (4*n^2+5*n+6) = 1*n^5+5*n^4+0*n^3+2*n^2+1*n+6    将等式化简得：

20*n^4+25*n^3+30*n^2+24*n^3+30*n^2+36*n+28*n^2+35*n+42 = n^5+5*n^4+2*n^2+n+6   继续化简得：

20*n^4+49*n^3+88*n^2+71*n+42= n^5+5*n^4+2*n^2+n+6    (1)

(1)的两边同时对n取余：

42%n = 6%n     (2)                (因为只能排除一个选项，所以还要继续对下一位取余)

(2)的两边同时对n^2取余：

（71*n+42）%n^2 = (n+6) %n^2     化简得：

（71+42/n）%n = （1+6/n）%n  = 1     (3)

所以可以求出该题的答案是12。