HDU - 4388 Stone Game II(博弈+思维)

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题目大意：最初有n堆石子，每堆石子的数目已知，现在有两个人轮流按照下列规则操作，不能操作的一方即为失败

1. 首先选择一堆石子，设该堆石子目前有x个，从中拿走a个石子，剩下了k个石子，a和k必须满足
   1. 0
   2. 0
   3. k^x
2. 然后加入一堆新的石子，数目为k^x，每个人每一局可以使用一次技能，让新增加的石子为(2*k)^x

题目分析：这个题如果直接去分析挺难想的，我们可以转换一下思维模式，上述两个规则无疑就是将n堆石子中满足条件的一堆分成了两堆，其新的值为k和k^x，直到不能再分为止，能想到这里还是差点火候，下面我用网上大佬的思路，来证明一下k和k^x的关系：

我们分成四种情况，讨论其中二进制的某一位p：

x	k	k^x
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

通过上表，我们可以看出，在将x分为k和k^x后，1的个数之和的奇偶性不变，然后从某一位p的结论推广到整个x和k中，可以得到相同的结论，我也不知道是怎么想到的。。换做是我肯定想不到orz

下面在讨论一下关于终止条件，也就是必败条件是什么，我们选出其中一堆，若该堆石子的数目转换为二进制后，1的数目只有一个，那么该堆是无法再分的，因为题目要求了k^x

所以我们现在有了两个结论：

1. x 和k与k^x中1的数目之和的奇偶性相同
2. 每次k至少需要选择x中任意数目的1

最后再分析一下每个人可以使用的那个技能，因为是将k^x变为(2k^x)，乘二在二进制里也不会影响1的数目之和的奇偶性，所以这个技能实际上没有什么贡献

综上所述，我们只需要分析一下初始时n堆石子中1的数目之和，然后减去原本n堆中需要保留的一个1（必败态），再判断一下奇偶性就能判断操作次数了，如果答案为奇数，则先手能操作最后一步，先手必胜，否则先手必败

对了，因为这个题目需要统计每个数字中1出现的次数，一般来说我们都会直接跑一遍二进制，今天学会了一个更快的方法可以优化，就是用n&(n-1)，下面放上大佬的证明：

https://blog.csdn.net/u013243347/article/details/52220551

实现代码：

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