acwing基础算法（四）质数

1.质数

1.质数的判定——试除法

1）大于1的

2）约束只有1和本身

3）时间复杂度sqrt(n)

#include 
#include 

using namespace std;

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;//质数要严格大于1
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )//这里用到了约数都是成对出现的性质,实践复杂度为根号n
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        if (is_prime(x)) puts("Yes");
        else puts("No");
    }

    return 0;
}

2.分解质因数——试除法

  时间复杂度sqrt(n)

#include 
#include 

using namespace std;

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )//只包含一个大于根号n的质因子，所以枚举到根号n
        if (x % i == 0)//i 一定是质数
        {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;//把大于根号n的质因子单独打印出来
    cout << endl;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
    }

    return 0;
}

3.质数的判定——筛子法

//朴素筛法(埃式)
//朴素筛法筛掉p之前的所有数的倍数
//埃式筛掉p之前所有质数的倍数
#include 
#include 

using namespace std;

const int N= 1000010;

int primes[N], cnt;
bool st[N];//true代表不是质数，false代表是质数

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i]) continue;//如果为真，则跳过
        primes[cnt ++ ] = i;//如果是质数，则加入到primes数组里
        for (int j = i; j <= n; j += i)//把所有i的倍数标记为true，这行代码只有i为质数时才会执行，所以就达到了埃式算法的目的
            st[j] = true;
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}


//线性筛法
//n只会被其最小质因子筛掉，例如4被2筛掉，36被2筛掉。。。。。
#include 
#include 

using namespace std;

const int N= 1000010;

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )//枚举n个数
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;//如果是质数，加到表里
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )//从小到大枚举所有的质数
        {
            st[primes[j] * i] = true;//把当前质数和i的乘积筛掉
            if (i % primes[j] == 0) break;//primes[j]一定是i的最小质因子
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

 线性筛法参考连接：https://www.jianshu.com/p/f16d318efe9b

	j=2	j=3	j=4	j=5
i=2	2X2	6	8	10
i=3	2X3	3X3	12	15
i=4	2X4	12	16	20
i=5	2X5	3X5	12	5X5
i=6	2X6	18	24	30
i=7	2X7	3X7	28	5X7

如表所示，所有的合数只会被其最小质因数筛掉， 

if (i % primes[j] == 0) break;

这句代码的意思就是：当i能被primes[j]整除时，说明i不能再作为乘积中的一项了，乘积中的另一项一定会比i小了，当前的合数将交给乘积中的另一项(primes[j])去筛除。

j是在枚举最小质因子，i是在枚举最小质因子要乘以的另一项

2.约数

1.试除法求所有约束

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

vector get_divisors(int x)
{
    vector res;
    for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )//只枚举小于sqrt(n)的一半，另一个可以算出来
        if (x % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if (i != x / i) res.push_back(x / i);//防止出现平方的情况
        }
    sort(res.begin(), res.end());//排序
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        auto res = get_divisors(x);

        for (auto x : res) cout << x << ' ';
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

2.约数的个数

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    unordered_map primes;//存质因数及其指数
    //step1:分解质因式
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++ ;
            }

        if (x > 1) primes[x] ++ ;
    }
    //step2:利用公式计算约数个数
    LL res = 1;
    for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod;

    cout << res << endl;

    return 0;
}

4.约数求和

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    unordered_map primes;

    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;

        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++ ;
            }

        if (x > 1) primes[x] ++ ;
    }

    LL res = 1;
    for (auto p : primes)
    {
        LL a = p.first, b = p.second;
        LL t = 1;
        while (b -- ) t = (t * a + 1) % mod;//公式
        res = res * t % mod;
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

5.最大公约数（辗转相除法）

#include 
#include 

using namespace std;


int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", gcd(a, b));
    }

    return 0;
}