有限域上的逆运算

有限域上的的逆运算有两种求取算法，一种是指数法，一种是扩展的欧几里德算法。

1、指数法

对于有限域 GF(p) ， p 为素数，对于该域上的非零元素 g ，则{g}的逆元为 c=g−1=gp−2
而整数 p−1 可以化为二进制表示 e=p−2=erer−1...e1e0 其中最高位 er=1
那么求逆过程就转换成了有限域上的求指数的过程，而有限域上求指数的算法过程是：

x=g
for i=r-1:0
    x=x*x
    if ei==1
    x=x*g
    end
end

输出x就是要求取的逆。

2、扩展的欧几里德算法

欧几里德算法又称之为辗转相除法，对于两个整数 a,b ，若 a>b ，求取其最大公约数 gcd(a,b) ，有 gcd(a,b)=gcd(b,amodb) ，如此辗转除下去就可以得到最大公约数。
扩展欧几里德算法指的是：对于不全为0的整数 a,b ，存在整数 x,y ，使得 ax+by=gcd(a,b)
求取 x,y 的过程是：
根据欧几里德算法， ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=bx2+(amodb)y2
利用恒等定理则有：
x1=y2;y1=x2−[a/b]∗y2
可以看出，当辗转相除停止时，可以递归求取 x,y 。
利用此定理，在有限域 GF(p) 上，对于任意一个非零元 g ，则有
gx+py=gcd(g,p)=1 ，那么使得等式成立的 x 就是 g 的逆元，那么求解逆元的过程就转换成了求解 x 的过程。