pku 3159 Candies 第一道Dijkstra+堆维护+差分约束系统的题目

本题是一道典型的差分约束系统的题目，题目原意是这样子的：
    fq是幼稚园班上的老大，一天老师给小朋友们买了一堆的糖果，由fq来分发，在班上，fq和llw是死对头，两人势如水火，不能相容，因此fq希望自己分得的糖果数尽量多余llw，而对于其他小朋友而言，不患寡而患不均的意识甚是强烈，比如A小朋友强烈希望自己的糖果数不能少于B小朋友m个，即B-A<=m，A，B分别为A、B小朋友的分得的糖果数。如此，班上的小朋友存在若干这样的意识，题目要求你在满足其他小朋友的要求的情况下，使fq和llw分得的糖果数差别最大，即max（VN-V1），VN为fq获得的糖果数，V1为llw获得的糖果数。
    因此根据题意，可以列出如下的不等式：
    Vb1-Va1 <= a1b1
    Vb2-Va2 <= a1b2    （1）
      .....
    Vbm-Vam <= ambm               
    目标函数为：max（VN-V1）
    题目分析：（1)中的不等式正好可以构成最短路的三角不等式：du <= dv + w(v,w)(其中du、dv分为为u v点到起点的最短路经)，因此可以利用最短路经来解求该不等式的解，同时利用最短路经得到的解能满足max{dn-d1}，这一点在上一篇的评论中得到证明（因为图上的每个点的最短路经都是由其前驱节点（已计算出最短路径的节点）经过该点和前驱节点的边松弛得到的），因此最短路经得到的解X >= 满足该不等式的解。由于我们考虑的只是小朋友分得的糖果数的相对量，而不关心其绝对量，因此我们可以假定d1=0，即llw获得0个糖果数。因此d1==0，而dN达到最大值，固能满足｛dN-d1｝达到最大值。
    这道题与poj1716 Integer Intervals、poj1201 Intervals不同 还在于：该题不需要添加虚拟节点V0，因为V1可以从某种程度认为是虚拟节点，即起点。虚拟节点V0在差分约束系统中的作用是作为一个基准量，其他未知数以此基准量并根据不等式条件来得到解，这有点类似于水准高的定义，只是一个相对量。这里得声明下：虚拟节点的添加是为保证其他每个顶点均可从V0到达，从而在V0==0的情况下求解其他未知数，即只能以V0为起点，不能使用其他点作为起点，即其他点的未知量不为0。而本题，可以直接令V1=0，即以V1为起点，因为题目考虑的是VN-V1的相对量，因此，直接让V1=0，让V1成为起点，便可以。可以说，题目分析到这里，已经完成了1/3，后面的工作量还是比较大的。
    同时这道题还有一个难度在于数据量比较大，点有30000个，边有150000条，如果采用bellman_ford算法，需要的时间开销为30000*150000=4.5*e9，要在1s的时间算完比较困难。那么可以用dijkstra么？当然可以，因为图中的路径权都是正的，因此可以用dijkstra，但问题是dijkstra的时间复杂度为o(V*V+E)=9*e8，与bellman_ford算法其实相差无几，因此还需要优化。所以在使用dijkstra算法的同时，利用最小二分堆来实现最小优先队列的维护，其时间复杂度为o(ElgV)=1.5*lg(30000)*e5~近似等于=1.5*128*sqrt(2)*e5，比9*e8小了小了一个数量级，实践证明，程序运行时间约等于1s，刚好过，比较险。
    在《算法导论》中提到，利用斐波那契堆来实现优先队列，可以将运行时间提升到o(VlgV+E)，目前还不知道斐波那契堆，有机会要摸一摸，体现一下告诉最短路经的快感。
    好，本题的题感写到这里，这道题做出来比较有成就感啊，虽然有部分思想源于网上，不过还是学到了不少。