二之再续、Dijkstra 算法+fibonacci堆的逐步c实现
二之再续、Dijkstra 算法+fibonacci堆的逐步c实现
作者:JULY、二零一一年三月十八日
出处：http://blog.csdn.net/v_JULY_v
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引言：
来考虑一个问题，
平面上6个点，A,B,C,D,E,F，假定已知其中一些点之间的距离，
现在，要求A到其它5个点，B,C,D,E,F各点的最短距离。
如下图所示：
经过上图，我们可以轻而易举的得到A->B,C,D,E,F各点的最短距离：
目的 路径 最短距离
A=>A， A->A 0
A=>B， A->C->B 3+2=5
A=>C， A->C 3
A=>D， A->C->D 3+3=6
A=>E， A->C->E 3+4=7
A=>F， A->C->D->F 3+3+3=9
我想，如果是单单出上述一道填空题，要你答出A->B,C,D,E,F各点的最短距离，
一个小学生，掰掰手指，也能在几分钟之内，填写出来。
我们的问题，当然不是这么简单，上述只是一个具体化的例子而已。
实际上，很多的问题，如求图的最短路径问题，就要用到上述方法，不断比较、不断寻找，以期找到最短距离的路径，此类问题，便是Dijkstra 算法的应用了。当然，还有BFS算法，以及更高效的A*搜寻算法。
A*搜寻算法已在本BLOG内有所详细的介绍，本文咱们结合fibonacci堆实现Dijkstra 算法。
即，Dijkstra + fibonacci堆 c实现。
我想了下，把一个算法研究够透彻之后，还要编写代码去实现它，才叫真正掌握了一个算法。本BLOG内经典算法研究系列，已经写了18篇文章，十一个算法，所以，还有10多个算法，待我去实现。
代码风格
实现一个算法，首先要了解此算法的原理，了解此算法的原理之后，便是写代码实现。
在打开编译器之前，我先到网上搜索了一下“Dijkstra 算法+fibonacci堆实现”。
发现：网上竟没有过 Dijkstra + fibonacci堆实现的c代码，而且如果是以下几类的代码，我是直接跳过不看的：
1、没有注释(看不懂)。
2、没有排版(不舒服)。
3、冗余繁杂(看着烦躁)。
fibonacci堆实现Dijkstra 算法
ok，闲话少说，咱们切入正题。下面，咱们来一步一步利用fibonacci堆实现Dijkstra 算法吧。
前面说了，要实现一个算法，首先得明确其算法原理及思想，而要理解一个算法的原理，又得知道发明此算法的目的是什么，即，此算法是用来干什么的?
由前面的例子，我们可以总结出：Dijkstra 算法是为了解决一个点到其它点最短距离的问题。
我们总是要找源点到各个目标点的最短距离，在寻路过程中，如果新发现了一个新的点，发现当源点到达前一个目的点路径通过新发现的点时，路径可以缩短，那么我们就必须及时更新此最短距离。
ok，举个例子：如我们最初找到一条路径，A->B，这条路径的最短距离为6，后来找到了C点，发现若A->C->B点路径时，A->B的最短距离为5，小于之前找到的最短距离6，所以，便得此更新A到B的最短距离：为5，最短路径为A->C->B.
好的，明白了此算法是干什么的，那么咱们先用伪代码尝试写一下吧(有的人可能会说，不是吧，我现在，什么都还没搞懂，就要我写代码了。额，你手头不是有资料么，如果全部所有的工作，都要自己来做的话，那就是一个浩大的工程了。:D。)。
咱们先从算法导论上，找来Dijkstra 算法的伪代码如下：
DIJKSTRA(G, w, s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) //1、初始化结点工作
2 S ← Ø
3 Q ← V[G] //2、插入结点操作
4 while Q ≠ Ø
5 do u ← EXTRACT-MIN(Q) //3、从最小队列中，抽取最小点工作
6 S ← S ∪{u}
7 for each vertex v ∈ Adj[u]
8 do RELAX(u, v, w) //4、松弛操作。
伪代码毕竟与能在机子上编译运行的代码，还有很多工作要做。
首先，咱们看一下上述伪代码，可以看出，基本上，此Dijkstra 算法主要分为以下四个步骤：
1、初始化结点工作
2、插入结点操作
3、从最小队列中，抽取最小点工作
4、松弛操作。
ok，由于第2个操作涉及到斐波那契堆，比较复杂一点，咱们先来具体分析第1、2、4个操作：
1、得用O（V）的时间，来对最短路径的估计，和对前驱进行初始化工作。
INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
1 for each vertex v ∈ V[G]
2 do d[v] ← ∞
3 π[v] ← NIL //O（V）
4 d[s] 0
我们根据上述伪代码，不难写出以下的代码：
void init_single_source(Graph *G,int s)
{
for (int i=0;i
d[i]=INF;
pre[i]=-1;
}
d[s]=0;
}
2、插入结点到队列的操作
2 S ← Ø
3 Q ← V[G] //2、插入结点操作
代码：
for (i=0;i
S[i]=0;
4、松弛操作。
首先得理解什么是松弛操作：
Dijkstra 算法使用了松弛技术，对每个顶点v<-V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径的估计。
RELAX(u, v, w)
1 if d[v] > d[u] + w(u, v)
2 then d[v] ← d[u] + w(u, v)
3 π[v] ← u //O（E）
同样，我们不难写出下述代码：
void relax(int u,int v,Graph *G)
{
if (d[v]>d[u]+G->w[u][v])
{
d[v] = d[u]+G->w[u][v]; //更新此最短距离
pre[v]=u; //u为v的父结点
}
}
再解释一下上述relax的代码，其中u为v的父母结点，当发现其父结点d[u]加上经过路径的距离G->w[u][v]，小于子结点到源点的距离d[v]，便得更新此最短距离。
请注意，说的明白点：就是本来最初A到B的路径为A->B，现在发现，当A经过C到达B时，此路径距离比A->B更短，当然，便得更新此A到B的最短路径了，即是：A->C->B，C 即成为了B的父结点(如此解释，我相信您已经明朗。:D。)。
即A=>B <== A->C->B，执行赋值操作。
ok，第1、2、4个操作步骤，咱们都已经写代码实现了，那么，接下来，咱们来编写第3个操作的代码：3、从最小队列中，抽取最小点工作。
相信，你已经看出来了，我们需要构造一个最小优先队列，那用什么来构造最小优先队列列?对了，堆。什么堆最好，效率最高，呵呵，就是本文要实现的fibonacci堆。
为什么?ok，请看最小优先队列的三种实现方法比较：
EXTRACT-MIN + RELAX
I、 简单方式： O（V*V + E*1）
II、 二叉/项堆： O（V*lgV + |E|*lgV）
源点可达：O（E*lgV）
稀疏图时，有E=o（V^2/lgV），
=> O（V^2）
III、斐波那契堆：O（V*lgV + E）
其中，V为顶点，E为边。好的，这样我们就知道了：Dijkstra 算法中，当用斐波纳契堆作优先队列时，算法时间复杂度为O（V*lgV + E）。
额，那么接下来，咱们要做的是什么列?当然是要实现一个fibonacci堆了。可要怎么实现它，才能用到我们
Dijkstra 算法中列?对了，写成一个库的形式。库?呵呵，是一个类。
ok，以下就是这个fibonacci堆的实现：//FibonacciHeap.h #ifndef _FIBONACCI_HEAP_H_INCLUDED_ #define _FIBONACCI_HEAP_H_INCLUDED_ #include
由于本BLOG日后会具体阐述这个斐波那契堆的各项操作，限于篇幅，在此，就不再啰嗦解释上述程序了。
ok，实现了fibonacci堆，接下来，咱们可以写Dijkstra 算法的代码了。为了版述清晰，再一次贴一下此算法的伪代码：
DIJKSTRA(G, w, s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2 S ← Ø
3 Q ← V[G] //第3行，INSERT操作，O（1）
4 while Q ≠ Ø
5 do u ← EXTRACT-MIN(Q) //第5行，EXTRACT-MIN操作，V*lgV
6 S ← S ∪{u}
7 for each vertex v ∈ Adj[u]
8 do RELAX(u, v, w) //第8行，RELAX操作，E*O(1)
编写的Dijkstra算法的c代码如下：void Dijkstra(int s, T d[], int p[]) { //寻找从顶点s出发的最短路径,在d中存储的是s->i的最短距离 //p中存储的是i的父节点 if (s < 1 || s > n) throw OutOfBounds(); //路径可到达的顶点列表,这里可以用上述实现的fibonacci堆代码。 Chain
更好的代码，还在进一步修正中。日后，等完善好后，再发布整个工程出来。
下面是演示此Dijkstra算法的工程的俩张图（0为源点，4为目标点，第二幅图中的红色路径即为所求的0->4的最短距离的路径）：
完。
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