离散数学基础——（3）最大公因数与最小公倍数

整数除法、取余运算

       形如 x÷y=q···r 的除法被称作整数除法，其中 x 称为被除数， y 称为除数， q 称为商 ， r 称为余，其中 r 。

       求 x÷y=q···r 这样的式子中的 r 的运算被称为取余运算，表达式记作 x mod y ， C++ 中写作 x%y 。

整除

       若 x mod y=0 则称 y 整除 x ，记作 y|x ，其中 '|' 是整除符号，表示前面一个数整除后面一个数，后面一个数被前面那个数整除；

       若 x mod y 的值不为 0 ，则称 y 不整除 x ，记作 y∤x ，其中 '∤' 是不整除符号，表示前面一个数不能整除后面一个数，后面一个数不被前面那个数整除。

质数、合数

       若一个数被另一个数整除，我们就称另一个数为这一个数的因数（因子），一个大于 1  的正整数至少有两个因子，即 1 和它本身。

       若一个数的因数只有两个因数，即 1 和它本身，那么我们称这个数为质数；

       若一个数的因数有三个或以上个因数，那么我们称这个数为合数；

       1 既不是质数也不是合数。

最大公因数和最小公倍数

       在数学中，我们把 a,b 两个数的最大公因数记作 gcd(a,b) ，最小公倍数记作 lcm(a,b) 。

       若两个数的最大公因数为 1 ，则我们称这两个数互质（互素）。

定理1： gcd(a,b)=gcd(b,a)
定理2： gcd(a,b)=a (a|b) 或 gcd(a,b)=b (b|a)
定理3： gcd(a,b)=gcd(b, a-b)
定理4： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
定理5： gcd(a,a)=|a|
定理6： a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)