【数据结构】图-最短路径问题

最短路径问题的抽象
·在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径
这条路径就是两点之间的最短路径（shortest path）
第一个顶点为源点（source）
最后一个顶点为终点（destination）

问题分类：
单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径。
（有向）无权图
（有向）有权图
多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径

无权图的单元最短路算法
按照递增（非递减）的顺序找出到各个顶点的最短路

如图，求v3到其余各点的最短路
Step 1 : 直接从v3出发，能直接到达v1和v6，将其记录，表示v3到这两个点的路程为1
Step 2 : 从step1中获取到的两点出发，先从v1出发，能直接到达v2和v4，即表示v3到这两个点的路程为1+1=2；从v6出发，发现v6并没有箭头指向其它点，结束
Step 3 : 同上 从v2出发，v4已经访问过了，不访问，可以访问v5；从v4出发，v5已经访问过，不访问，可以访问v7，那么v5,v7就是从v3出发的两点路程为2+1=3的点
至此，所有点已经访问完毕。

有没有觉得和BFS很像

实际上代码也和BFS差不多，但是有修改：

需要一个更加具体的数组来表示到每个点的最短路径是多少，还可以顺便准备一个数组，表示路径

S是其本身，因此dist[S] = 0；其余dist[]的初始值可以设置一个奇妙的值，比方说-1，比方说-9999等。
访问到一个点之后，它的路径就是我此时出发点的路径+1

如果dist的初始值都设为0，那么在if判断那边就是if(dist[W] == 0)，这样源点会一直入队出队入队出队，进入死循环。

最后模拟结果如上，文字描述参考上文，path模拟方法类似不多赘述了。

有权图的单元最短路算法

图1，设权重指代通行费，想求v1到v6最省钱路线，可以得出v1-v4-v7-v6 = 6
图2，同样的，但v2->v5为-10，此时想求v5到v4最省钱路线，则会进入v5-v4-v2-v5死循环（一时赚钱一时爽，一直赚钱一直爽），这个-10称为负值圈，在算法中一般都需要避免负值圈的出现。

Dijkstra算法
一个用于有权图最短路径的算法，直接贴出代码和模拟：


寻找v1开始到各点的最短路径：
准备工作：将v1的dist设为0（自己），并设置标记（已录入），再把v1相邻的点录入（v2,v4）
（疑惑：v2的权重是2，但万一有一条路径是1呢？v4的路径是1可以直接录入，但是v2我保持疑问 如果真有这种情况，也会通过其它路径走到，到时候更新v2就可以了）

代码解释：
collected[V] 代表的是这个点V是否已经作为一个源点在四周查找邻接点过了；
E 表示带权路径的权重值
dist[W] 距离源点的距离（最终结果都是最短距离）
path[W] 走到这个点的上一点是什么（最终能通过path定位到数组下标，一直回溯就会回到起点，路径数字化表现可以用堆栈实现）

进入函数：传参vertex s为顶点v1的下标（实质上就是int v），进入while循环
Step 1 : 从dist数组进行遍历，寻找未收录顶点中 dist最小者为新的出发点，此时是v4。然后将其标记为“已访问”，开始遍历v4的每个邻接点（v3, v5, v6, v7），并且这些邻接点都得是“未访问过” （如果已访问过，表示这个点已经求出最短路了，再去访问浪费时间）。如果v4的dist加上v4->vi的权重小于vi已保存的dist（这条路更近），那就更新vi的dist，并且更新vi的path为v4，第一轮循环结果如下：

Step 2 : v4结束，继续从dist数组中遍历寻找新的出发点，易得为v2，此时将v2作为V，标记“已访问”，再开始访问v2的邻接点。v4已访问过，因此不考虑；v5未访问过，但是dist[V]+E = 12 > 3，因此不更新。v2循环结束。

Step 3 ：这时该从v3开始，v3的邻接点为v6，此时dist[V] + E = 8 < 9，因此更新dist[v6]和path[v6]。

以下类似不多赘述，最终更新结果为：

举例：求v1到v6的最短路的路径
直接找到v6，再通过path[v6]能得出v6的上一点为v7，找到v7
再通过path[v7]找到上一点为v4，以此类推能得到一串数字：6-7-4-1，放入堆栈就能转换为1-4-7-6即路径。

多元最短路算法
就是将每个点都作为起点，然后都给求一次各点的最短路