cdq分治小结

神奇的思想

一般的分治，众所周知的，是通过将大的问题拆小，然后对小问题的答案进行合并得到大问题的答案，但是cdq分治不是。我们知道，分治时，将一个区间从中间斩开，分两半处理，cdq分治在处理完之后，不是合并答案，而是计算左区间对右区间的贡献，这样子可以将维度降低，问题就更好做了。

引子

现在有 $n$ 个二元组，每个形如 $(a,b)$，现在问有多少对二元组之间是吊打的关系。Ps：$x$ 吊打 $y$ 的定义是x的a>y的a , x的b>y的b。

大佬瞟一眼就能发现，这就是逆序对问题嘛。

我们对关键字 $a$ 进行排序，这样我们就可以忽略 $a$ 的影响了，后面用权值树状数组即可求解。

可见，排序是一种强大的降维武器！

进入正题

问题升级！

现在有 $n$ 个三元组，每个形如 $(a,b,c)$，现在问有多少对三元组之间是吊打的关系。Ps： $x$ 吊打 $y$ 的定义是x的a>y的a , x的b>y的b , x的c>y的c。

我们发现，用排序进行降维之后，还剩下两维呀！而排序这个武器是显然只能用一次的，那对于二元组显然也难以求解，于是，我们还需要降维，用谁呢？

神奇的cdq分治登场！

依照上面的思想，我们可以对关键字 $b$ 进行分治，每次将序列分成两半，将这两半分别按照关键字 $b$ 排序，那么现在我们知道，左边部分的 $a$ 都小于右边部分的 $a$（假设我们从小到大排序），那么我们只需要将左边部分中 $b$ 也小于右边部分 $b$ 的那些加入权值树状数组，然后统计答案即可。

（这么说我自己都觉得抽象。。） 那么来看看代码吧！

void solve(int x,int y)
{
    if(x==y)return;//假如只有一个元素，就没什么好分的了
    int mid=x+y>>1;//分两半
    solve(x,mid);solve(mid+1,y);//将这两半进行分治
    sort(a+x,a+mid+1,cmpy);sort(a+mid+1,a+y+1,cmpy);//将这两半按第二关键字进行排序
    //第一关键字在外面已经排好序了
    int l=x,r=mid+1;//记录当前遍历到的左右部分的下标
    while(r<=y)//假如右边部分还有元素
    {
        while(a[l].y<=a[r].y&&l<=mid)add(a[l].z,a[l].w),l++;
        //将左边部分中第二关键字比他小的塞入权值树状数组
        a[r].ans+=sum(a[r].z);r++;//统计答案
    }
    for(int i=x;i<l;i++)//清空树状数组
    add(a[i].z,-a[i].w);
}

当然，cdq分治的强大之处还不止这样，它不仅和排序一样可以降一维，它还比排序要厉害一些——它可以嵌套！

这样，就可以降更多维了，而时间复杂度仅仅是随着嵌套层数增加若干个log而已！而且，空间上完全无负担。

具体做法可能以后会补上吧qwq，这里先坑一下了