期望与概率洛谷p3802

###题面

请注意，无论前 6 个魔法是否已经参与施放终极魔法，只要连续 7 个魔法的属性各不相同，就会再触发一次终极魔法。例如，如果用序号来代表一种魔法，魔法的施放序列为 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 1则前 7 个魔法会触发一次终极魔法，后 7 个魔法会再触发一次终极魔法。

现在帕琪有 7 种属性的能量晶体，第 i 种晶体可以施放出属性为 i 的魔法，共有 $a_i$ 个。每次施放魔法时，会等概率随机消耗一个现有的能量晶体，然后释放一个对应属性的魔法。

###分析

令$S={\sum }_{i=1}^7{a}_i$

设施展一次帕琪七重奏的概率为P(A)，那么很显然有：

$P(A)=\frac{a_1}{S}\ast \frac{a_2}{S-1}\ast \frac{a_3}{S-2}\ast \frac{a_4}{S-3}\ast \frac{a_5}{S-4}\ast \frac{a_6}{S-5}\ast \frac{a_7}{S-6}$

但我们发现，每一次可以从任意的元素开始，所以内部的顺序是随机的，这就构成了7的排列，即7!。

$P(A)=7!\ast \frac{a_1}{S}\ast \frac{a_2}{S-1}\ast \frac{a_3}{S-2}\ast \frac{a_4}{S-3}\ast \frac{a_5}{S-4}\ast \frac{a_6}{S-5}\ast \frac{a_7}{S-6}$

在这个题中，我们可以发现E(A)=P(A)，这就具有了很好的性质，因为期望是具有线性可加性的，即：

$E(A+B)=E(A)+E(B)$

我们就可以得到总共的期望【设为E(M)】为：

$E(M)=7!\ast \frac{a_1}{S}\ast \frac{a_2}{S-1}\ast \frac{a_3}{S-2}\ast \frac{a_4}{S-3}\ast \frac{a_5}{S-4}\ast \frac{a_6}{S-5}\ast \frac{a_7}{S-6}+7!\ast \frac{a_1-1}{S-6}\ast \frac{a_2-1}{S-7}\ast \frac{a_3-1}{S-8}\ast \frac{a_4-1}{S-9}\ast \frac{a_5-1}{S-10}\ast \frac{a_6-1}{S-11}\ast \frac{a_7-1}{S-12}+...$

每次加一次P(A)，相当于在上一次选出的7个数后面补上7个数。

也就是说我们相当于在造一个很长的链：

1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4…

不难发现除了最后6个不行，其他都行。

故为$S-6$个。

所以最终的答案为

$E(M)=(S-6)\ast 7!\ast \frac{a_1}{S}\ast \frac{a_2}{S-1}\ast \frac{a_3}{S-2}\ast \frac{a_4}{S-3}\ast \frac{a_5}{S-4}\ast \frac{a_6}{S-5}\ast \frac{a_7}{S-6}$

=$7!\ast \frac{a_1}{S}\ast \frac{a_2}{S-1}\ast \frac{a_3}{S-2}\ast \frac{a_4}{S-3}\ast \frac{a_5}{S-4}\ast \frac{a_6}{S-5}\ast a_7$

#include
using namespace std;
double a[8],ans=1,sum;
int main()
{
	for(int i=1;i<=7;i++) scanf("%lf",&a[i]),sum+=a[i];
	for(int i=1;i<=6;i++)
	{
		ans*=a[i];
		ans/=(sum-i+1);
	}
	ans*=5040;
	ans*=a[7];
	printf("%.3lf",ans);
	return 0;
}