gcd fib

小岛【】发了篇日志，说一个问题。
求 lcm(fib(a1),fib(a2),...,fib(an))mod(109+7) 。

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1355
https://www.hackerrank.com/contests/infinitum10/challenges/fibonacci-lcm

https://www.codechef.com/problems/FLCM/
https://www.hackerrank.com/contests/infinitum9/challenges/fibonacci-gcd/editorial

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最后的是问题的解决，然而是个英文的。
那么我具体的解释解释……

总而言之是先解决 gcd(...) ，然后喜闻乐见的： lcm=fac/gcd 。
而解决 gcd 的关键是这样一个公式：

gcd(fib(a),fib(b))=fib(gcd(a,b))

这个属于 fib 数的常见性质。 Acdreamer 大大的博客上有过记载： http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/7909480

它的证明也不复杂。这里就介绍一下。
有这样的关系：

(1110)n=(fibn+1fibnfibnfibn−1)

那么：

(1110)a+b=(fiba+b+1fiba+bfiba+bfiba+b−1)

(1110)a+b=(fiba+1fibafibafiba−1)(fibb+1fibbfibbfibb−1)

这样就有了:

fib(a+b)=fin(a+1)fib(b)+fib(a)fib(b−1)

gcd(fib(a),fib(b)) 在 a>b 的状况下把 fib(a) 写作 fib(a−b+b) ，利用上面的公式得到：

gcd(fib(a),fib(b))=gcd(fib(a−b)fib(b−1),fib(b))

然而我们有:

gcd(fib(b),fib(b−1))=gcd(fib(b−2),fib(b−1))=gcd(fib(b−1),fib(b−2))=...=gcd(1,0)=1

其中总结到的 gcd(fib(n),fib(n−1))=1 也是值得注意的性质。
于是我么得到了：

gcd(fib(a),fib(b))=gcd(fib(b),fib(a−b))

迭代上面式子的过程若干次，就可以得到：

gcd(fib(a),fib(b))=gcd(fib(b),fib(a mod b))

我们发现了这样的格式：

f(a,b)=fib(a),b=0f(a,b)=f(b,a mod b),else

欧几里得算法告诉我们：

gcd(fib(a),fib(b))=fib(gcd(a,b))

详细来说就是：

fib−1⋅f(a,b)=a,b=0fib−1⋅f(a,b)=fib−1⋅f(b,a mod b),else

说明

fib−1⋅f(a,b)=gcd(a,b)

f(a,b)=fib(gcd(a,b))