牛顿迭代法求平方根

原文地址
http://brianleelxt.top/2018/07/21/newton_sqrt/

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Sedgewick的《Algorithm》第一章有一段使用牛顿迭代法计算平方根的代码，开始没理解代码的意思，上网查阅资料后搞清楚了原理，并整理了自己的思路。

思路

要求 c c 的平方根 x x ，首先设函数 y=x2−c y = x 2 − c ，当 y=0 y = 0 时， x x 的值便为 c c 的平方根。

如图所示， xn+1 x n + 1 为 c c 的平方根，而我们通过 (xn,f(xn)) ( x n , f ( x n ) ) 来求得 xn+1 x n + 1 的值。

知道 y=x2−c y = x 2 − c 的斜率为：

f‘(x)=f(xn)xn−xn+1 f ‘ ( x ) = f ( x n ) x n − x n + 1

因为 f(xn)=x2n−c f ( x n ) = x n 2 − c ， f‘(xn)=2xn f ‘ ( x n ) = 2 x n ，所以得：

xn+1=12(xn+cxn) x n + 1 = 1 2 ( x n + c x n )

通过上述步骤便得到了 xn+1 x n + 1 的表达式，可见我们可以通过迭代得到 xn+1 x n + 1 的值。

给定 xn x n 的初始值为 c c 。

而停止迭代的条件为：

x2n+1−c=0 x n + 1 2 − c = 0

即：

xn+1−cxn+1<xn+1×err(err为一个极小误差值) x n + 1 − c x n + 1 < x n + 1 × e r r ( e r r 为 一 个 极 小 误 差 值 )

最后求得的 xn+1 x n + 1 的值便为平方根。

代码

public static double sqr(double c) {
        if (c < 0) {
            return Double.NaN;
        }
        double err = 1e-15;
        double x = c;
        while (Math.abs(x - c / x) > err * x) {
            x = (c / x + x) / 2.0;
        }
        return x;
    }

源代码地址

https://github.com/XutongLi/Algorithm-Learn/blob/master/src/S1_foundation/S1_1_6_1_NewtonMethod/NewtonMethodSqrt.java