考研高等数学中值定理总结（一）

涉及f(x)的定理

开始几个定理的证明过程比较复杂，但在几何直观上较易理解，
都以f(x)在[a,b]上连续为前提。
(1)有界性定理：
∃ k>0,使|f(x)|≤k，∀x∈[a,b].
(2)最值定理：
m≤f(x)≤M，其中m，M分别为x在[a,b]上的最小值和最大值。
(3)介值定理：
若m≤μ≤M，则存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ.
(4)零点定理：
若f(a) · f(b)＜0，则存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=0.

结合上图可以很容易理解这四个定理。
需要注意的是零点定理是介值定理的特例，即介值定理可以推出零点定理：因为f(a) · f(b)＜0，可以得出a,b一正一负，其定义域包括零点，令定理(2)中μ=0即可得出定理(3)。

涉及f’(x)的定理

(5)费马引理：
设f(x)在x=x0处：
$$\{\begin{array}{c}可导\\ 取极值\end{array}$$，
则f’(x0)=0.
对费马引理做一下简单粗略的证明：
不妨设x∈U（x0）时，f(x)≤f(x0),（f(x)≥f(x0)可用同样方法证明），
对于x+Δx∈U（x0）,有f(x+Δx)≤f(x0)，
Δx>0时,
$$\frac{f(x+\Delta x)-x0}{\Delta x}\le 0，$$
Δx<0时,
$$\frac{f(x+\Delta x)-x0}{\Delta x}\ge 0$$
由可导条件即极限保号性得：
f’(x0)=f+’(x0)≤0，
f’(x0)=f-’(x0)≥0.
一个数既大于等于0又小于等于0取交集只能等于0，证毕。
(6)罗尔定理：
设f（x）满足三个条件：
$$\{\begin{array}{c}[a,b]上连续\\ (a,b)内可导\\ f(a)=f(b)\end{array}$$，
则存在ξ∈[a,b]，使f ’ (ξ)=0.
罗尔定理可由费马引理推出。
对罗尔定理做一下简单粗略的证明：
由定理(2)最值定理得出，m≤f(x)≤M，其中m，M分别为x在[a,b]上的最小值和最大值。那么存在两种情况：
[1]M=m.此时在[a,b]上f(x)可表示为f(x)=M,∀ξ∈[a,b],f ’ (ξ)=0.
[2]M≠m.因为f(a)=f(b)，所以M和m至少有一个不等于f(a)或f(b),不妨设M≠f(a),那么必然存在ξ∈[a,b]，f(ξ)=M,∀x∈[a,b],f(x)≤f(ξ),由(5)费马引理，f ’ (ξ)=0.
证毕。