组合数之错排数

错排数的定义

• 假设有n个元素，n个位置，每个元素都有自己唯一的正确位置，问，所有元素都处在错误位置有多少可能

递推公式

• 设 f(n) f ( n ) 表示n个元素的错排种数，则 f(n+1)=n∗(f(n)+f(n−1)) f ( n + 1 ) = n ∗ ( f ( n ) + f ( n − 1 ) )
• 解释如下
  
  • 假设已经有n个元素错排，新来一个元素，那么该元素处于已有的n个元素的位置都可以实现错排，所以有 n∗f(n) n ∗ f ( n ) 种可能
  • 假设已有n个元素，其中n-1个是错排的，另外一个是正确的，这种情况有n种。新来一个元素，这个元素唯有跟那个正确元素交换位置才可以实现n+1个元素的错排。所以有 n∗f(n−2) n ∗ f ( n − 2 ) 种可能
• 为什么没有其他可能？
  
  • 因为对于n+1个元素的某个错排来说，假设第 n+1 n + 1 个元素处于第i位( i≠n+1 i ≠ n + 1 )，然后第 n+1 n + 1 个位置有第k个元素，那么要么 k=i k = i 或者 k≠i k ≠ i ，没有其他可能情况

ACM题

• hdu2049