微分中值定理及其应用——（不定式极限&洛必达法则）

我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为型或型的不定式极限。以导数为工具研究不等式极限，这个方法通常称为洛必达(L'Hospital)法则。

1.型不定式极限

定理7   若函数f和g满足：

（i）

（ii）在点的某空心邻域上两者都可导，且

（iii）（A可为实数，也可为或），

则

注意：若将定理7中换成

只要相应地修正条件（ii）中的邻域，也可以得到同样的结论。

2.型不定式极限

定理8   若函数f和g满足：

（i）在的某个右邻域上两者可导，且

（ii）（A可为实数，也可为或），

则

注1：若不存在，并不能说明不存在。

注2：不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件。

3.其他类型不定式极限

不定式极限还有等类型，经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。

例1  求

解：这是一个型不定式极限，用恒等变换将它转化为型的不定式极限，并应用洛必达法则得到

例2  求

解：这是一个型不定式极限，作恒等变形其指数部分的极限从而得到

例3  求（k为常数）.

解：这是一个型不定式极限，按上例变形方法，先求型极限：

然后得到当k=0时上面所得的结果显然成立。

例4  求

解：这是一个型不定式极限，类似地先求其对数的极限（型）：于是有

例5  求

解：这是一个型不定式极限，通分后化为型的极限，即

最后指出，对于数列的不定式极限，可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果。

例6  求数列极限

解：先求函数极限取对数后的极限为所以由归结原则可得

注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量求导数是没有意义的。