寻找两个正序数组的中位数
寻找两个正序数组的中位数
题目描述
给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个正序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例
nums1 = [1, 3]，nums2 = [2]，则中位数是 2.0
nums1 = [1, 2]，nums2 = [3, 4]，则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
1：暴力解法
也是归并排序的组合部分。
这个时候我们先不要求解出本题的时间复杂度为：
O(log(m+n))
- 中位数：最中间的那个数（该数的左右个数相同）
- 既然给出了两个正序数组，我们可以将这两个正序数组合成为一个正序的数组
- 判断合成后的数组的长度为奇数还是偶数，进而求出中位数
class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int len1 = nums1.length;
int len2 = nums2.length;
// 合成的数组
int[] res = new int[len1+len2];
int index = 0;
int left = 0, right = 0;
// 归并排序合成部分
while(left<len1&&right<len2) {
if(nums1[left]<nums2[right]) {
res[index++] = nums1[left++];
} else {
res[index++] = nums2[right++];
}
}
// 判断nums1剩余还是nums2剩余，并将剩余部分加入到合成的数组之后
while(left<len1) {
res[index++] = nums1[left++];
}
while(right<len2) {
res[index++] = nums2[right++];
}
// 判断合成后的数组的长度，求出中位数。返回的是double类型
if((len1+len2)%2==1) {
return (double) res[(len1+len2)/2];
} else {
return (double) (res[(len1+len2)/2]+res[(len1+len2)/2-1])/2;
}
}
}
时间复杂度：
O(m+n)，空间复杂度：O(m+n)
2：暴力解法优化
在暴力解法中，我们新创建了一个数组用来找到中位数。
考虑到中位数与两个数组长度之和有关，所以我们可以直接通过两个指针来定位中位数的位置。
此时，没有创建新的数组，所以空间复杂度降低到：
O(1)
- 两个数组长度和为奇数：只需要知道第
len/2+1个数就可以了。即：遍历len/2+1次。要知道第len/2+1个数，即：需要最后一次遍历即可。 - 两个数组长度和为偶数：则需要知道第
len/2与len/2+1个数。即：遍历len/2+1次。此时需要记录第len/2个数
public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
int m = A.length;
int n = B.length;
int len = m + n;
// left用来保存上一次遍历的结果，right表视当前遍历的结果。因为偶数时：需要两个值
int left = -1, right = -1;
// aStart指向此时A数组的位置，bStart指向此时B数组的位置
int aStart = 0, bStart = 0;
for (int i = 0; i <= len / 2; i++) {
// 每次开始新的一边遍历时，保存上次的遍历结果
left = right;
// 数组A指针aStart后移的条件：aStart没有到A的最后，此时A位置的数字小于B位置的数字。此时要判断B的指针bStart是否越界，如果越界的话就不去判断此时A位置的值与B位置的值的大小，而是继续遍历A当前位置的值。
if (aStart < m && (bStart >= n || A[aStart] < B[bStart])) {
right = A[aStart++];
} else {
right = B[bStart++];
}
}
if ((len & 1) == 0)
return (left + right) / 2.0;
else
return right;
}
时间复杂度：
O(m+n)，空间复杂度：O(1)
3：二分法
暴力解法对于本题来说不满足时间复杂度，要求时间复杂度为
O(log(m+n))，所以自然想到了二分法。先理解：两个数组长度为奇数：中位数就是第(m+n)/2+1小元素；两个数组长度为偶数：中位数是第(m+n)/2小与第(m+n)/2+1小元素的和的一半
那么，如何求出两个数组中第k小的元素？
- 找到两个数组中的第k小元素。即：第一个数组中的某个位置
k/2，第二个数组中某个位置k/2 - 如果
nums1[k/2]nums2[0]...nums2[k/2]都不是第k小。故：我们应该从nums1[0]...nums1[k/2]与nums2[k/2]...nums2[len2-1] - 解释2：
nums1数组中比nums1[k/2]小的数有k/2-1个，nums2数组中，nums2[k/2]比nums1[k/2]小，nums2[k/2]前边的数字都比nums1[k/2]小，只有k/2-1个，所以比nums1[k/2]小的数字最多有k/2-1+k/2-1=k-2个，所以nusm1[k/2]最多是第k-1小的数。而比nums1[k/2]小的数更不可能是第 k 小的数了，所以可以把它们排除。 - 此时已经排除了
k/2个数了。故：此时要更新k的值。在num1[0]...nums1[len1-1]与nums2[k/2]...nums2[len2-1]中递归查找第k小的值
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int n = nums1.length;
int m = nums2.length;
int left = (n + m + 1) / 2;
int right = (n + m + 2) / 2;
//将偶数和奇数的情况合并，如果是奇数，会求两次同样的 k 。
return (getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, left) + getKth(nums1, 0, n - 1, nums2, 0, m - 1, right)) * 0.5;
}
private int getKth(int[] nums1, int start1, int end1, int[] nums2, int start2, int end2, int k) {
int len1 = end1 - start1 + 1;
int len2 = end2 - start2 + 1;
//让 len1 的长度小于 len2，这样就能保证如果有数组空了，一定是 len1
if (len1 > len2) return getKth(nums2, start2, end2, nums1, start1, end1, k);
if (len1 == 0) return nums2[start2 + k - 1];
if (k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);
int i = start1 + Math.min(len1, k / 2) - 1;
int j = start2 + Math.min(len2, k / 2) - 1;
if (nums1[i] > nums2[j]) {
return getKth(nums1, start1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - start2 + 1));
}
else {
return getKth(nums1, i + 1, end1, nums2, start2, end2, k - (i - start1 + 1));
}
}
时间复杂度：
O(log(m+n))，空间复杂度：O(1)