横向滤波器

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1. 横向滤波器

1.1 概念

  横向滤波器（transversal filter），也称抽头延迟线滤波器（tapped-delay line filter）或有限脉冲响应滤波器（fir filter），是自适应滤波器中最常用的一种滤波器结构。其结构如图1所示。

图 1 横向滤波器 ${}^{[1]}$

  由图1 可以看出，每输入一个数据$u(n)$横向滤波器对应地输出一个数据$y(n)$。它由三个基本单元组成：单位延迟单元（$z^{-1}$），乘法器和加法器。

  $w_m^{\ast }$称为滤波器的系数或抽头权值。$u(n)$经过单位延迟单元后的结果是$u(n-1)$。延迟单元的个数通常称为滤波器的阶数。

  根据横向滤波器的结构可得当$u(n)$进入到滤波器的时候，滤波器的输出为：
$$y(n)=\sum _{m=0}^M{w}_m^{\ast }u(n-m)\text{\hspace{1em}(1)}$$

  其中$n$表示时刻，$M$为滤波器的阶数，$w_m^{\ast }$为第$m$个抽头线上的权值，$u(n-m)$表示$n$时刻横向滤波器第$m$个抽头线上的输入数据。亦可将其表示成向量内积的形式，令$\mathbf{u}(n)$表示$n$时刻的输入向量(即$n$时刻滤波器每个抽头输入组成的列向量)，$\mathbf{w}(n)$表示$n$时刻的抽头权向量(即$n$时刻滤波器每个抽头权值组成的列向量)，则：
$$y(n)={\mathbf{u}}^T(n)\mathbf{w}(n)\text{\hspace{1em}(2)}$$

1.2 举例

  假设进入横向滤波器的数据按照时间先后顺序依次为：

  $$1,2,3,4,5$$

  横向滤波器的系数从左到右依次为：

  $$5,6,7$$

  可知此例中，横向滤波器的阶数为$2$，长度为$3$(横向滤波器的长度比它的阶数大$1$)。对照着横向滤波器的结构图可知：

  在数字$3$到来的时候，滤波器的输出为：$$3\ast 5+2\ast 6+1\ast 7=34$$

  在数字$4$到来的时候，滤波器的输出为：$$4\ast 5+3\ast 6+2\ast 7=52$$

  在数字$5$到来的时候，滤波器的输出为：$$5\ast 5+4\ast 6+3\ast 7=70$$

  由以上例子可以更进一步理解单位延迟单元的作用，即取当前单位延迟单元输入数据的前一时刻的数据。

2. 参考文献

[1] 《自适应滤波器原理》(第五版) 原作者：Simon Haykin