统计-4 概率、古典概率

概率

描述事件发生可能性的指标；

假设4个人要出去玩，要决定是否带伞，因此对事件 A = “明天会下雨”估计，甲说100%可能下雨，乙说70%，丙说30%，丁说0%肯定不下雨；这些数字代表了每个人对A的主观估计，因此称之为主观概率；

主观概率不是依据客观事实的，也许是根据个人经验，比如会看天象，也许是个人得失考虑，比如不带伞而下雨比带伞不下雨的代价大；其能代表了个人的倾向，社会学家可能根据大家对经济发展速度的估计来看人民对未来的信心；

上面提到的事件是在概率论是 对某种情况的陈述，并不知道是否发生；验证其是否发生要靠试验，比如对事件“明天会下雨“的试验就是等明天看看是否下雨；事件一般包括一个明确界定的试验，并且在试验之前试验的全部结果都明确；通常把一次的试验结果成为一个基本事件，一个或多个基本事件构成一个事件；比如掷一次骰子点数为偶数的事件是由掷骰子点数为2、4、6三个基本事件组成的；

古典概率：设一个试验有N个等可能性的结果，而事件E包含了M个结果，那么事件E的概率，记为P(E)定义为：p(E) =M/N;

因为每个等可能基本事件概率为1/N，因此M个自然就是M/N；

古典概率求解主要是基于排列组合；
l 例子1
甲乙两个赌徒，各处赌资500元，约定5局三胜，谁赢谁把钱都拿走，而当甲2：1乙的时候，赌博停止，问怎么分？
如果都给甲对乙不公平，平均分对甲又不公平；有一种解法是甲:乙为2:1，因此甲取2/3，乙拿剩下的1/3；仔细想想，这只是对已发生试验的计算，未发生的试验没有考虑，基于古典概率排列组合的思想，不就是剩下2局了么，我们把赢的所有的情况列出来：

甲甲，甲乙，乙甲，乙乙

其中甲甲、甲乙，乙甲三种情况甲赢；而乙乙是乙赢，因此在甲：乙是2：1的情况下，再比赛两局甲赢的概率是3/4，乙是1/4，因此这笔钱应该3:1分；
从上面的例子可以看出，古典概率的局限性是：只能用于试验结果有限，且等可能成立的情况；
假如试验结果是无限多的，可以通过将古典概率中等可能性引申为等面积，那么就是几何概率了；几何自然通过需左图更易理解，如下例：
| 例子2
甲乙两人相约在1点到2点见面，约定如果先到的等10分钟等不到人就闪，如果甲乙各自在1-2点任意事件到，那么问事件E“这两个人能成功见面“的概率是多大？

这根本组合不出来结果，假设x是甲到来的事件，y是乙到来的事件，则x和y的范围都是0-1，他们相见的条件是|x-y | < 10；基于此，作图如下：

我们可以理解正方形面试是所有试验结果，虚线内是事件他们能够相见的面积，虚线外是不能相见的面积；事件E的概率就是虚线的面积 / 正方形的面积了；

在根据统计估计概率时，通常将事件发生的频率作为事件发生的概率，实际在重复实验中频率会变化，当然重复试验次数越多变化范围越小，那概率可以被定义为当试验次数无限大时的频率极限；然后在实际中不可能做到这一点，试验的次数是有限的，因此有两个问题：1. 那如何估计概率，比如抽样一部分估计男女的比例；2. 如果对给定的概率检验是否正确；这部分就是假设检验；

说到这里，可能发现，之前并没有给概率一个明确的定义，“通常将事件发生的频率作为事件发生的概率”也并没有给出证明，这里要说明一下，概率的公理化，数学中，公理是指不用证明大家都承认的前提和基础，前苏联数学家柯尔成功将概率论实现公理化，简单的说有集合M，其中每个成员都是一个事件，定义其上的函数P，M中的任意成员A，P（A）称为A的概率；

古典概率

设一个试验有N个等可能性的结果，而事件E包含了M个结果，那么事件E的概率，记为

P(E)定义为：p(E) =M/N；

大多情况下，古典概率就是涉及两个数的排列组合，基本情况如下：

1）  n个不同物体取r个的不同排列总数：

从第一个开始取，一直取到第r个，如下：

 

2）  n个不同物体取r个的不同组合数：

从n取r个的排列中任取一个：

3）  n个不同物体分成k堆，每堆分别是r1,r2,r3,…,rk的分发

以此先取第一堆，一直取到k堆；

例题：随机的含义是等可能性，是古典概率的前提；
1）  一批产品N个，次品M个，随机从N中抽取n个，事件“其中恰好有m个次品”概率？

事件E的种类M：即从M个次品随机取m个次品共n种；然后再从非次品中抽取非次品的部分；

实验的种类N：N中取n个

2）  n双不同的鞋，随机分成两堆，每堆2只，事件：“各自都是一对鞋”的概率；

事件E的种类M：n对鞋的排列；

试验的种类N：将2n分为n堆，每堆2个的情况：

3）  n个男孩，m个女孩(m<=n+1)，随机排成一列，问任意两个女孩都不相邻的概率

事件E的种类M：任意两个女孩不相邻的排列，先让男生站好，有n+1个空位让女生选；

试验的种类N：n男，m女

如果不是排成一排，而是站成一圈：

先看一下n个男生站成一圈的种类有多少，n个男生围成一圈一次可以拆成n种排列，因此圈的种类=排列种类/n，

另外，男生围成一圈后，可选的空位置就是n，而不是n+1了；

因此有：

4）  有两盒火柴，每盒n支，每次用就随便拿一盒抽一支，当取出的盒子空时，另外一盒有m支的概率：

事件E的种类M：事件发生时一共抽取了2n + 1 – m，如果最后一次抽的是甲盒，那么在前2n-m次中必然有n次抽取的甲盒；

试验的种类N：共抽取2n+1-m次，每次都有两种选择

因此：

5）  21本不同的书，随机分给17个人，问“6个人0本，5个人1本，2个人2本，4个人3本”的概率：

试验的种类N：21本分给17个人，17^21；

事件E的种类M：把17个人先分成4堆，每堆分别是6、5、2、4人；然后再把21本书分为17堆，每堆分别为0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,3,3,3,3；这两种情况相乘；

所以有：

6）  n本书随机分给甲乙两个人，问这两个人各至少的一本的概率

试验的种类N：n本书分2个人，2^n；

事件E的种类M：至少的一本的相反是有一个人不得，或甲或乙

因此：

有一种说法是：n本书分给两个人，那甲可能有0本，1本。。。n本共n+1中情况，其中0本和n本两种排除，那概率应该是 (n-2)/(n+1)；这里面的问题是古典概率的条件不成立，就是，0本、1本，。。。，n本这些基本事件的可能性不一样！

陈希孺老师的《概率论与数理统计》读书笔记。