计算机视觉中的多视图几何——第一章:2D摄影几何（5 二次曲线、不动点、直线）

一、 二次曲线

1.1 极点-极线的关系

点$\mathbf{x}$和二次曲线$C$定义一条直线$\mathbf{I}=C\mathbf{x}$,则有：

• $\mathbf{I}称为\mathbf{x}关于\mathbf{C}$的极线；
• $\mathbf{x}称为\mathbf{I}关于\mathbf{C}$的极点；

• 性质：

• 点$\mathbf{x}$关于二次曲线$C$的极线$\mathbf{I}=C\mathbf{x}与C$交于两点，$C$的过这两点的切线相交于$\mathbf{x}$
• 如果点$\mathbf{x}$在$C$上，则它的极线就是二次曲线过点$x$的切线。
  

二次曲线诱发了$I{P}^2$内点与直线之间的一种映射，且这种映射具有射影结构，因为它仅仅涉及相交和相切两种在射影变换下不变的性质。

• 对射：
  对射是指$I{P}^2$点到$I{P}^2$线的可逆映射，并用$3\times 3$非奇异矩阵表示为$\mathbf{I}=A\mathbf{x}$.
  对射提供了一种点与直线关系对偶化关系的一种系统方法，对射不要求一定要用对称矩阵表示，但因为讨论二次曲线，因此此处仅限于讨论对称矩阵。
  • 共轭点： 如果点y在极线$\mathbf{I}=C\mathbf{x}$上，则${\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{I}={\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}C\mathbf{x}=0$。满足${\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}C\mathbf{x}=0$的任何两点$\mathbf{x},\mathbf{y}$称为关于二次曲线$C$共轭。
  • 如果$\mathbf{x}$在$\mathbf{y}$的极线上，那么$\mathbf{y}$也在$\mathbf{x}$的极线上.

1.2 二次曲线的分类

二次曲线的射影标准形式： 因为C是对称矩阵，所以有实特征值并可分解为乘积$C=U^{T}DU$,其中$U$是正交矩阵，$D$是对角矩阵。

以射影变换$U$作用与二次曲线$C$,有：
$$C^{\prime }=U^{-T}C{U}^{-1}=U^{-T}(U^{T}DU)U^{-1}=D$$
这表明任何二次曲线都射影等价于一个对角矩阵表示的二次曲线。

二次曲线$D$变为具有矩阵$diag({ϵ}_1,{ϵ}_2,{ϵ}_3)$的二次曲线中，其中${ϵ}_i=\pm 1$或$0$.

二、不动点和直线

• 不动点
  对于方阵$H$，可以求特征向量和特征值。而当方阵$H$对应着一种射影变换时，则变换矩阵$H$的特征矢量（即特征向量）$\mathbf{e}$对应着射影变换的不动点，特征值$\lambda$和对应的特征矢量$\mathbf{e}$有:
  $$H\mathbf{e}=\lambda \mathbf{e}$$
  而在齐次坐标下$\mathbf{e}$和$\lambda \mathbf{e}$表示同一点。当$H$为平面射影变换矩阵，则$H$的大小为$3\times 3$，最多有三个互不相同的特征值，即平面射影变换最多有三个不动点。
• 不动直线
  类似推导可应用于不动直线，它对应于$H^T$的特征矢量。注意不动直线的不动是集合的不动，而不是点点不动，即该直线上的点被映射到直线的另一点，这两点一般不同。
• 欧氏矩阵
    两个不动理想点是虚圆点$\mathbf{I},\mathbf{J}$组成的复共轭对，相对应的特征值是：$\{e^{i\theta },e^{-i\theta }\}$,这里$\theta$是旋转角。对应予特征值1 的第三个特征矢量，称为极点。欧氏变换等价与绕该点转$\theta$角的纯旋转并且没有平移。
• 相似矩阵
    两个不动理想点仍是虚圆点，特征值是$\{1,e^{i\theta },e^{-i\theta }\}$。相似变换的作用可以理解为绕它的有限不动点的旋转和取$s$为因子的均匀缩放。注意虚圆点的特征值仍然表征旋转角。
• 仿射矩阵
    两个不动理想点可以是实或复共轭的，但在任何一种情况下，过这些点的不动直线${\mathbf{I}}_{\infty }=(0,0,1{)}^T$是实的。