动态规划的求解步骤

动态规划算法适合于求解最优化问题，通常可按下列步骤来设计动态规划算法：

（1）分析最优解的性质，并刻画其最优子结构特征；

（2）确定状态表示S(x1,x2,...)和状态递推方程，递归地定义最优值；

（3）根据状态转移顺序，以自底向上的方式计算出最优值；

（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

第（1）步是基础，也是关键。在分析最优子结构性质时，子解分解和子解对应的子问题描述是关键。有两种子解分解方法：基于划分的方法和基于减一的方法。

在第一种方法中，问题的最优解依据问题性质划分成两个或者多个子解，但是其划分位置无法事先确定；

在第二种方法中，问题的最优解依据问题性质减缩规模，比如减去最优解的第一个分量，或者最后一个分量，得到规模减少一个单位的子解。得到子解后，分析和描述该子解对应的子问题，如果能证明该子解对应子问题的最优解，则该问题满足最优子结构性质，转入第（2）；否则，该问题不能用动态规划求解。

第（2）步是动态规划算法的核心，它是最优解的规划过程。状态表示本质上就是子问题的表示，形如,其中是描述子问题的求解目标，一般的直接定义为待求解问题的目标值。需要注意的是，对于有些问题来说，如果直接定义为原问题目标值，可能最优子结构性质不成立。此时，往往定义为某个中间目标值，比如最大上升子序列问题。在算法实现时，状态一般用一个k维的表格存储，动态规划过程就是表格操作过程。

第（3）步体现了动态规划算法的执行过程。通俗地讲，动态规划是一个由易至难的求解过程；先求解最简单的子问题的解，然后利用简单子问题的解构造复杂一些的子问题的解，直至求解原问题的解。

第（4）步是可选步骤，只有问题要求构造最优解时才需要。