克罗内克积

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定义

如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积则是一个 mp × nq 的分块矩阵

更具体地可表示为

[编辑]例子

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[编辑]特性

[编辑]双线性和结合律

克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：

其中，A, B 和 C 是矩阵，而 k 是常量。

克罗内克积不符合交换律：通常，A  B 不同于 B  A。

A  B和B  A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得

如果A和B是方块矩阵，则A  B和B  A甚至是排列相似的，也就是说，我们可以取P = Q^T。

[编辑]混合乘积性质

如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：

这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A  B是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

[编辑]克罗内克和

如果A是n × n矩阵，B是m × m矩阵，表示k × k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和为：