Matlab(12)——稀疏矩阵

Matlab(12)——稀疏矩阵

一、矩阵的存储方式

1.完全存储方式

矩阵的每一个元素都进行存储

2.稀疏存储方式

只存储非0元素的值及其位置，即行号与列号

采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没改变，也是按列的顺序存储。

二、稀疏存储方式的产生

1.矩阵的完全存储方式与稀疏存储方式的转换

A=sparse(S)：将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A
S=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S

2.直接建立稀疏存储方式的矩阵

①sparse函数

sparse(m,n)：生成 m×n 全零稀疏矩阵。
sparse(i,j,v)：根据 i、j 和 v 三个向量生成稀疏矩阵 S，v为稀疏矩阵中的非零元素，i与j的对应位置分别为v中对应为的非零元素在稀疏矩阵中的行下标与列下标。

②spconvert函数

B=spconvert(A)：A为一个m3或m4矩阵，m为非零元素的个数，A的每一行用来存储一个非零元素的各种信息：
A(i,1)：第i个非零元素所在的行
A(i,2)：第i个非零元素所在的列
A(i,3)：第i个非零元素的实部
A(i,4)：第i个非零元素的虚部
若非零元素都为实数则矩阵A无需第4列，为m*3矩阵

例：

3.带状稀疏矩阵的稀疏存储方式

带状稀疏矩阵：所有非零元素都集中在对角线的位置

①从带状稀疏矩阵中提取对角线上元素

B = spdiags(A)：从矩阵A中提取所有非零对角线元素赋给矩阵B，B 是一个其列为 A 的 p 条非零对角线的 min(m,n)×p 矩阵
[B,d] = spdiags(A)：从矩阵A中提取所有非零对角线元素赋给B，d指示所提取出的对角线的位置
B = spdiags(A,d)：从A中提取 d 指定的对角线。

需要注意的是矩阵B：
获取在主对角线以下的对角线上的元素存在矩阵B的一列之中，在这一列从上到下，先存对角线上元素，存完之后再补0；
获取在主对角线以上的对角线上的元素存在矩阵B的一列之中，在这一列从下到上，先存对角线上元素，存完之后再补0，

例：

例：

②创建带状稀疏矩阵

A=spdiags(B,d,m,n)：通过获取 B 的列并沿 d 指定的对角线放置它们，来创建一个 m×n 稀疏矩阵(在m*n矩阵中，d指定的对角线上元素个数不能超过B的列数)。
A=spdiags(B,d,A)：B、d含义同上，参数矩阵A的含义是只修改A的指定对角线上的元素，其他元素不变

需要注意的是矩阵B：
要将B的某一列元素存到矩阵A主对角线以下的对角线时，将这一列从上到下的元素逐个存入指定对角线，直到这条对角线存满。
要将B的某一列元素存到矩阵A主对角线以上的对角线时，设对角线的位置为k，将这一列从第k个元素到下的元素逐个存入指定对角线，直到这条对角线存满。
例：

4.单位矩阵的稀疏存储方式

speye(m,n)：返回一个m*n的稀疏存储的单位矩阵

最后的一点说明：当参与元素的矩阵不全是稀疏存储方式的矩阵时，结果是完全存储形式。