二叉平衡树(AVL树)及相关平衡操作

在讲到集合的时候，很容易让人想到的是数组和链表。然后大家会讨论这两种数据结构的差异。但是根据指定的内容在集合中查找，这两种数据结构的性能却没有区别都是O(n)，如何提高在集合中检索指定内容数据的性能，是我们在程序开发中面临的问题。

平衡二叉树(AVL树)

通过二叉排序树及相关操作说明我们可以总结二叉排序树的形状是由根节点的值决定的，如果在极端情况下，根节点的值取的足够小，容易退化成链表，导致查询时间复杂度升高，查询性能下降。

因此在二叉排序树的基础上具有以下性质的二叉排序树称为二叉平衡树：

1. 左右子树的深度绝对值不超过1
2. 左右子树分别都是平衡二叉树

术语说明及图例

AVL树最明显的特点是根据其特性能进行旋转，但是在描述旋转的时候，一些术语比较晦涩难懂，所以对一些术语进行了图形描述

1. 根节点的左子树的根节点的左子树
   
2. 根节点的左子树的根节点的右子树
   
3. 根节点的右子树的根节点的左子树
   
4. 根节点的右子树的根节点的右子树
   

树的深度

树中结点的最大层次结点为树的深度

平衡因子

Balance Factory=> BF定义为该结点的左子树的深度减去该结点的右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1、0、1。只要二叉树上的一个节点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。

平衡二叉树(AVL树)的旋转

AVL树的插入操作和删除操作都有可能造成AVL二叉树失去其原有的特性，为此需要进行旋转操作使AVL树再平衡
说明：为了对比平衡二叉树旋转前后的变化，我没有做节点名称的变化

1. 单向右旋平衡处理

   在平衡二叉树的根节点的左子树的根节点的左子树上插入一个节点导致二叉树失去平衡，进行的单向右旋平衡处理，操作如图所示：
   

2. 单向左旋平衡处理

   在平衡二叉树的根节点的右子树的根节点的右子树上插入一个节点导致平衡二叉树失去平衡，进行的单向左旋平衡处理，操作如图所示：
   

3. 双向旋转，先左旋后右旋平衡处理

   在平衡二叉树的根节点的左子树的根节点的右子树上插入一个节点导致平衡二叉树失去平衡，进行的双向旋转处理，操作如图所示：
   

4. 双向旋转，先右旋再左旋平衡处理

   在平衡的二叉树的根节点的右子树的根节点的左子树上插入一个节点导致平衡二叉树失去平衡，进行的双向旋转处理，操作如图所示：
   

AVL树旋转总结

• 在平衡的二叉排序树BBST(Balance Binary Sorted Tree)上插入一个新的数据元素e，平衡算法可描述如下：

  1. 若BBST是空树，则插入一个数据元素e的新结点作为BBST的根节点，树的深度增加1；
  2. 若数据元素e的关键字和BBST树的根结点的关键字相等，则查找成功，不进行插入操作；

  3. 若数据元素e的关键字小于BBST树的根节点的关键字，而且在BBST的左子树中不存在和数据元素e的关键字相同的关键字，则将e插入BBST的左子树上，若插入新元素之后的左子树的深度增加(+1)时，需要分情况讨论：

     • 若BBST的左子树的根结点的平衡因子为1，那么就进行单向右旋进行平衡处理，并且单向右旋处理后，将修改BBST树的根结点及根结点的左右子树根结点的平衡因子，BBST树的深度保持不变；
     • 若BBST的左子树的根结点的平衡因子为-1，那么就进行双向旋转，先左旋再右旋平衡处理，并且旋转平衡处理之后修改BBST根结点及根结点左右子树的根结点的平衡因子，树的深度保持不变；
  4. 若数据元素e的关键字大于BBST树的根结点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和数据元素e的关键字相同的关键字，则将e插入到BBST树的右子树上，参照第3步操作，分情况进行讨论针对不同情况进行单向左旋平衡处理、双向选装，先右旋再左旋平衡处理。
• 当平衡二叉排序树失去平衡时，仅需要对平衡因子绝对值大于1的结点为根节点的树进行调整即可，且调整以后二叉排序树的深度保持不变。