离散傅里叶变换(一)

之前学过DTFT，DFS，ZT变换，它是都是针对离散信号而言的，连续信号是无法用计算机来画的。其中DTFT和ZT针对的是离散非周期的信号，用计算机也无法模拟，因为它是非周期的，无法用一段来描述，但是DFS可以用计算机来描述，因为他是周期的，我们只需截取一段就可以代表整个信号，这一截取叫做信号的DFT变换，DFT是由DFS延伸出来的，DFT又叫离散傅里叶变换，说白了DFT就是以一段看整段，由于我们学的是离散的傅里叶变换，所以这一小段是离散的

时域离散化，频域周期化
时域连续化，频域非周期化
时域周期化，频域离散化
时域非周期化，频域连续化
时域连续周期化，频域离散非周期化

1.周期延拓和取主值运算
比如一个矩形序列，他在0到N-1区间上的值是x(n)，我们对其进行以N为周期的周期延拓，你就可以写成书上79最下面那个公式，x(n)叫主值序列，当然我们对这个式子可以简写为书上80页3-3-4式子，表示n对N的除法取余数，这个式子可以用n = n1+m*N来算，其中n和N你懂的，m表示整数，n1表示最后的那个余数，比如((-1))8，n就等于-1，N等于8，因为等号左边是-1，右边是含8，所以我们不约而同的想到m应该取负数也就是-1，即m=-1，那你n1你就可以算出来了，结果就是那个式子的值

主值序列可以表示成对原序列的周期延拓后的序列乘以矩形序列，上述过程其实这一过程的逆过程

当然那个3-3-4式子我们还可以写成n mod N，我们还可以用这个式子对那些进行周期延拓的信号的任意某一个值对应原主值序列的某一个值
也就是说你在周期延拓后的信号上任取一个值，我都可以在原主值序列上找到和你取那个值相等的那个点，取法就是求n1的过程

2.离散傅里叶变换的定义
书上81页下面是它的DFT的定义式
其中那个W是旋转因子
旋转因子的性质
1.展开式，展开成指数形式
2.原式的n加上mN后值不变，或者原式的k加上mN后值不变
3.原式上下都乘以m后值不变
4.书上81页上面，表示的物理意义为单位圆上的N点，和为0，每两点相隔2*pai/N
5.书上81页上面的左边，用欧拉公式可以证明
6.DFS和DFT的关系是：x(n)的周期延拓序列的DFS变换等效为x(n)的N点DTF变换的周期延拓

对上述性质第二条解释一下：
旋转因子具有周期性，所以我们就认为原序列x(n)和DFT变换后的序列X(k)具有隐含周期性，也就是说不论x(n)为什么类型的序列，只要我们用DFT变换对其分析就默认它是周期序列，注：原序列自变量用n表示，DFT变换后的序列的自变量用K表示。

3.例题
请看书上83页3-3-2，他让你求几点的DFT变换，这个几点其实就是周期N，题上说求它的DTFT你直接代公式就可以了，记住那个上下限，还有那个DTFT和DFT变换的自变量是不同的，第一个是exp jw，第二个是k，二者都是直接代公式，求出来的结果的图在书上84页，那4张图分别是原序列的DTDT变换，4点DFT变换，8点DFT变换，16点DFT变换，通过这三张图你会深刻理解什么是DFT变换，它也可以说成是原频谱的采样。

就以上题来说，对一个序列的周期延拓你要记住在延拓的时候要保证二者信息量是一样的
你不能简单的延拓，他让你延拓4个单位，你不能简单的只延拓4个单位，中间要有空格，请看书上83页中间的右边

4.离散傅里叶变换的基本性质
1.线性性质：你懂的
2.循环移位性质，和一般的移位不一样，这个循环移位是对原序列进行周期化，对这个周期化后的序列移位叫循环移位