排序算法（一）：堆排序

前言

堆（二叉堆）是一种用于实现优先队列模型的数据结构，堆具有堆序（heap order）性，每个节点的关键字都大于他的父节点的只有根除外（没有父亲），也可以是都小于，子节点与父节点的关系决定了这个堆是最小堆还是最大堆，分别可以用来做升序和降序。使用优先队列理论上可以实现花费O(N log N)时间的排序。

方法

对一个数组进行升序的排列，可以先将数组中的N个元素建立一个二叉堆，这个操作花费O(N)时间，然后对该堆执行N此DeleteMin操作。堆中的数据按照从小到大依次离开堆，将这些元素记录到第二个数组中，最后再拷贝回来，以此得到了针对N个元素的排序。每个DeleteMin操作花费了O(log N)的时间，因此总开销是O(N log N)。
注意到我们这里使用了一个额外的数组，空间开销加大了（将第二个数组数据拷贝回来只花费O(N)，不会显著增加时间消耗）。
虽然我们在程序中常常为了节省时间开销而消耗额外的空间，但在这个问题中有个方法可以避免。在每次DeleteMin操作之后，堆缩小了1，，因此堆中最后的单元可以用来存放刚刚删去的元素。

DeleteMin（删除最小元）

这是在排序中重点需要的基本堆操作，要找到需要删除的元素很容易，难的是删除，当删除一个最小元时，在根节点产生了一个空穴，为了保证堆的性质，必需将堆中最后一个元素X移动，如果它可以移动到空穴，那么DeleteMin完成，不过这一般不太可能，因此我们将空穴的两个子节点中较小的一个移入空穴，相当于把空穴往下移动了一层，不断重复这个过程直到X可以被放到空穴。这种策略被称作下滤。
最小堆与最大堆具有对称的性质，对于父节点大于子节点的最大堆，区别只是每次删除的是最大元，上移的是空穴子节点中较大的，与最小堆相反。

图片演示

代码

#define LeftChild(i) (2 * (i) + 1)

void PercDown(ElementType A[], int i, int N) {
    int Child;
    ElementType Tmp;
    
    for (Tmp = A[i]; LeftChild(i) < N; i = Child) {
        Child = LeftChild(i);
        if (Child != N - 1 && A[Child + 1] > A[Child])
            Child++;
        if (Tmp < A[Child])
            A[i] = A[Child];
        else
            break;
    }
    A[i] = Tmp;
}

void Heapsort(ElementType A[], int N) {
    int i;
    
    for (i = N / 2; i >= 0; i--)
        PercDown(A, i, N);
    for (i = N - 1; i > 0; i--) {
        Swap(&A[0], &A[i]);
        PercDown(A, 0, i);
    }
}