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红黑树（Red Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树（Self-balancing Binary Search Tree）。以前也叫做平衡二叉 B 树（Symmetric Binary B-tree）。
预备知识
树的知识框架结构如下图所示：
平衡二叉搜索树
平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree），英文简称 BBST。经典常见的平衡二叉搜索树是 AVL 树和红黑树。
二叉搜索树
二叉搜索树（Binary Search Tree）是二叉树的一种，英文简称 BST。又称为二叉查找树、二叉排序树。
它的特点是任何一个结点的值都大于其左子树的所有结点的值，任何一个结点的值都小于其右子树的所有结点的值。
平衡
平衡（Balance）：就是当结点数量固定时，左右子树的高度越接近，这棵二叉树越平衡（高度越低）。而最理想的平衡就是完全二叉树/满二叉树，高度最小的二叉树。
一棵二叉搜索树平均时间复杂度可以认为是树的高度 O(h)。像左边这棵，结点的左右子树的高度接近，属于一棵平衡二叉搜索树，O(h) = O(logn)；而右边这棵，高度达到了最大，已经退化成了链表，O(h)=O(n)。
改进二叉搜索树
当二叉树退化成链表时，性能是很低的，所以我们需要在结点的插入、删除操作之后，想办法让二叉搜索树恢复平衡（减小树的高度）。但是如果为了追求最理想的平衡，而增加了时间复杂度也不是很有必要，因此比较合理的方案就是：用尽量少的调整次数达到适度平衡。
由此引申出 AVL 树的概念。
AVL 树
AVL 树是最早发明的自平衡二叉搜索树之一，它取名自两位发明家的名字：G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis。
平衡因子
平衡因子（Balance Factor）：某结点的左右子树的高度差。
每个叶子结点的平衡因子都是 0。看这棵二叉搜索树，红色数字标注了每个结点对应的平衡因子。
举例：
8 的左子树高度为 2，右子树高度为 1，因此它的平衡因子为 1；5 的左子树高度为 0，右子树高度为 3，因此它的平衡因子为 -3；4 的左子树高度为 2，右子树高度为 4，因此它的平衡因子为 -2；
再看这棵 AVL 树和它每个结点对应的平衡因子：
可以看到 AVL 树具有以下特点：
- 每个结点的平衡因子只可能是 -1、0、1（如果绝对值超过 1，则认为是失衡）
- 每个结点的左右子树高度差不超过 1
- 搜索、插入、删除的时间复杂度是 O(logn)
B树
B 树（Balanced Tree）是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现。这是一个简单的 3 阶 B 树：
特点
- 1 个结点可以存储超过 2 个元素，可以拥有超过 2 个子结点
- 拥有二叉搜索树的一些性质
- 平衡，每个结点的所有子树高度一致
- 比较矮
m 阶 B 树的性质（m ≥ 2）
m 阶 B 树指的是一个结点最多拥有 m 个子结点。假设一个结点存储的元素个数为 x，那么如果这个结点是：
- 根结点：1 ≤ x ≤ m - 1
- 非根结点：┌ m / 2 ┐ - 1 ≤ x ≤ m - 1
如果有子结点，子结点个数为 y = x + 1，那么如果这个结点是：
- 根结点：2 ≤ y ≤ m
- 非根结点：┌ m / 2 ┐ ≤ y ≤ m
向上取整（Ceiling），指的是取比自己大的最小整数，用数学符号 ┌ ┐ 表示。
向下取整（Floor），指的是取比自己小的最大整数，用数学符号 └ ┘ 表示。
比如 m = 3， 子结点个数 2 ≤ y ≤ 3，这个 B 树可以称为（2,3）树、2-3 树；
比如 m = 4， 子结点个数 2 ≤ y ≤ 4，这个 B 树可以称为（2,4）树、2-3-4 树；
比如 m = 5， 子结点个数 3 ≤ y ≤ 4，这个 B 树可以称为（3,5）树、3-4-5 树；
以此类推。
B 树 VS 二叉搜索树
这是一棵二叉搜索树，通过某些父子结点合并，恰好能与上面的 B 树对应。我们可以得到结论：
- B 树和二叉搜索树，在逻辑上是等价的
- 多代结点合并，可以获得一个超级结点，且 n 代合并的超级结点，最多拥有 (2^n) 个子结点 （至少是 (2^n) 阶 B 树）
红黑树定义和性质
红黑树是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉搜索树。
为了保证平衡，红黑树必须满足以下性质：
- 每个结点是要么是红色或黑色
- 根结点必须是黑色
- 叶结点（外部结点、空结点）是黑色
- 红色结点不能连续（也就是，红色结点的孩子和父亲都是黑色）
- 对于每个结点，从该点至
nil（树尾端，java 中为null的结点)的任何路径都包含所相同个数的黑色结点
红黑树与 B 树的等价变换
根据上面的性质，可以画出这样一棵红黑树。接下来对红黑树做等价变换，即将所有的红色结点上升一层与它的父结点放在同一行，这就很像一棵 4 阶 B 树，转换效果如下图所示。
可以得出结论：
- 红黑树与 4 阶 B 树（2-3-4树）具有等价性
- 黑色结点与红色子结点融合在一起，形成 1 个 B 树结点
- 红黑树的黑色结点个数与 4 阶 B 树的结点总个数相等
红黑树的基本操作
当我们对一棵平衡二叉搜索树进行插入、删除的时候，很可能会让这棵树变得失衡（最坏可能导致所有祖先结点失衡，但是父结点和非祖先结点都不可能失衡），为了达到平衡，需要对树进行旋转。而红黑树能够达到自平衡，靠的也就是左旋、右旋和变色。
旋转操作是局部的。当一侧子树的结点少了，向另一侧“借”一些结点；当一侧子树的结点多了，则“租”一些结点给另一侧。
为了更清楚地讲解这部分内容，先声明几个概念：
- N - node：当前结点
- P - parent：父结点
- S - sibling：兄弟结点
- U - uncle：叔父结点（P 的兄弟结点）
- G - grand：祖父结点（P 的父结点）
左旋
左旋指的是以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。
不考虑结点颜色，可以看到左旋只影响旋转结点和其右子树的结构，把右子树的结点往左子树移动。
右旋
右旋指的是以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。
不考虑结点颜色，可以看到右旋只影响旋转结点和其左子树的结构，把左子树的结点往右子树移动。
变色
变色指的是结点的颜色由红变黑或由黑变红。
变换规则
将左旋、右旋和变色结合起来，得到一套变换规则：
变色：如果当前结点的父结点和叔父结点是红色，那么：
- 把父结点和叔父结点变为黑色
- 把祖父结点变为红色
- 把指针定义到祖父结点
左旋：当前结点是右子树，且父结点是红色，叔父结点是黑色，对它的父结点左旋
右旋：当前结点是左子树，且父结点是红色，叔父结点是黑色，那么：
- 把父结点变为黑色
- 把祖父结点变为红色
- 对祖父结点右旋
红黑树搜索
由于红黑树本来就是平衡二叉搜索树，并且搜索也不会破坏树的平衡，所以搜索算法也与平衡二叉搜索树一致：
具体步骤：
- 从根结点开始检索，把根结点设置为当前结点；
- 若当前结点为空，返回 nil。
- 若当前结点不为空，比较当前结点 key 与搜索 key 的大小；
- 若当前结点 key 等于搜索 key，那么该 key 就是搜索目标，返回当前结点。
- 若当前结点 key 大于搜索 key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤 2；
- 若当前结点 key 小于搜索 key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤 2；
红黑树插入
红黑树插入操作分为下面两步：
定位插入的位置
具体步骤：
- 从根结点开始检索；
- 若根结点为空，那么插入结点设为根结点，结束。
- 若根结点不为空，那么把根结点设为当前结点；
- 若当前结点为 nil，返回当前结点的父结点，结束。
- 若当前结点 key 等于搜索 key，那么该 key 所在结点就是插入结点，更新结点的值，结束。
- 若当前结点 key 大于搜索 key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤4；
- 若当前结点 key 小于搜索 key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤4；
插入后实现自平衡
建议新添加的结点默认为红色，因此这样能够让红黑树的性质尽快满足。不过如果添加的结点是根结点，设为黑色即可。
总结一下红黑树插入可能出现的所有场景。
场景 1：红黑树为空树
红黑树的性质2：根结点必须是黑色。
处理：直接把插入结点设成黑色并作为根结点。
场景 2：插入结点的 key 已存在
二叉搜索树中不能插入相同元素，既然结点的 key 已经存在，红黑树也已平衡，无需重复插入。
处理：
- 将插入结点设为将要替换结点的颜色
- 更新当前结点的值为插入结点的值
场景 3：插入结点的父结点为黑色
插入的结点默认是红色的，当它的父结点是黑色时，并不会破坏平衡。
处理：直接插入。
场景 4：插入结点的父结点为红色
如果插入结点的父结点为红色，那么父结点不可能为根结点，所以插入结点总是存在祖父结点。这点很重要，后续的旋转操作需要祖父结点的参与。
场景 4.1：存在叔父结点，且为红色
由红黑树性质4可知：红色结点不能连续。那么此时该插入子树的红黑层数的情况是：黑-红-红。显然最简单的处理方式就是将其改为：红-黑-红。
处理：
- 将父结点和叔父结点变为黑色
- 将祖父结点变为红色
- 将祖父结点设置为当前插入结点
场景 4.2：叔父结点不存在或为黑色，插入结点的父结点是祖父结点的左子结点
这种场景下，叔父结点所在的子树的黑色结点就比父结点所在子树的多，不满足红黑树的性质5。
场景 4.2.1：插入结点是左子树
处理：
- 将父结点变为黑色
- 将祖父结点变为红色
- 将祖父结点右旋
场景 4.2.2：插入结点是左子树
这种场景显然可以转换为 4.2.1。
处理：
- 将父结点进行左旋
- 将父结点设为插入结点，得到场景 4.2.1
- 进行场景 4.2.1 的处理
场景4.3：叔父结点不存在或为黑色，插入结点的父结点是祖父结点的右子结点
相当于场景 4.2 的方向反转，直接看图。
场景 4.3.1：插入结点是左子树
处理：
- 将父结点变为黑色
- 将祖父结点变为红色
- 对祖父结点进行左旋
场景 4.3.2：插入结点是右子树
处理：
- 将父结点进行右旋
- 将父结点设置为插入结点，得到场景 4.3.1
- 进行场景 4.3.1 的处理
下面举个例子，往一棵红黑树中插入元素，整棵树的变换如下图所示：
红黑树删除
红黑树删除操作也分为两步：
定位删除的位置
定位删除位置可以复用红黑树搜索的操作。
如果不存在目标结点，忽略本次操作；如果找到目标结点，删除后进行自平衡处理。
删除后实现自平衡
二叉搜索树删除的时候可能出现三种场景：
- 场景一：若删除结点无子结点，直接删除即可；
- 场景二：若删除结点只有一个子结点，用子结点替换删除结点；
- 场景三：若删除结点有两个子结点，用后继结点（大于删除结点的最小结点）替换删除结点。
具体应用，可以借助这张图理解：
我们可以发现，另外两种二叉树的删除场景都可以通过相互转换变为场景一。
在场景二情况下：删除结点用其唯一的子结点替换，子结点替换为删除结点后，可以认为删除的是子结点，若子结点又有两个子结点，那么相当于转换为场景三，一直自顶向下转换，总是能转换为场景一。
在场景三情况下：删除结点用后继结点，如果后继结点有右子结点，那么相当于转换为场景二，否则转为场景一。
综上所述，删除的结点可以看作删除替换结点，且替换结点最后总是在树末。
下面总结一下红黑树删除可能出现的所有场景。
为了方面理解，我们先约定一下结点的叫法：
- R - 替换结点
- P - 替换结点的父结点
- S - 替换结点的兄弟结点
- SL - 兄弟结点的左子结点
- SR - 兄弟结点的右子结点
- 灰色 - 结点颜色可能是红色，也可能是黑色
注意：R 是即将被替换到删除结点的位置的替换结点，在删除前，它还在原来所在位置参与树的子平衡，平衡后再替换到删除结点的位置，才算删除完成。
场景 1：替换结点为红色
我们把替换结点换到了删除结点的位置时，由于替换结点为红色，删除也了不会影响红黑树的平衡，只要把替换结点的颜色变为删除的结点的颜色即可重新平衡。
处理：替换结点颜色变为删除结点的颜色。
场景 2：替换结点为黑色
当替换结点是黑色时，就必须进行自平衡处理了，我们可以通过区分替换结点是其父结点的左子结点还是右子结点，来做不同的旋转，使树重新平衡。
场景 2.1：替换结点是左子树
场景 2.1.1：替换结点的兄弟结点为红色
若兄弟结点是红结点，那么根据红黑树性质4，兄弟结点的父结点和子结点肯定为黑色，按照下图方式处理，得到删除场景 2.1.2.3。
处理：
- 将兄弟结点变为黑色
- 将父结点变为红色
- 对父结点进行左旋，得到场景 2.1.2.3
- 进行场景 2.1.2.3 的处理
场景 2.1.2：替换结点的兄弟结点为黑色
当兄弟结点为黑时，其父结点和子结点的具体颜色也无法确定，此时又得考虑多种子场景。
场景 2.1.2.1：替换结点的兄弟结点的右子结点为红色，左子结点任意颜色
即将删除的左子树的一个黑色结点，显然左子树的黑色结点少1了，然而右子结点又是红色，那么我们直接向右子树“借”个红结点来补充黑结点，并进行旋转处理。如图所示：
处理：
- 将兄弟结点的颜色变为父结点的颜色
- 将父结点变为黑色
- 将兄弟结点的右子结点变为黑色
- 对父结点进行左旋
场景 2.1.2.2：替换结点的兄弟结点的右子结点为黑色，左子结点为红色
兄弟结点所在的子树有红结点，又可以向兄弟子树“借”个红结点过来，这就转换回了场景 2.1.2.1。如图所示：
处理：
- 将兄弟结点变为红色
- 将兄弟结点的左子结点变为黑色
- 对兄弟结点进行右旋，得到场景 2.1.2.1
- 进行场景 2.1.2.1 的处理
场景 2.1.2.3：替换结点的兄弟结点的子结点都为黑色
兄弟子树没有红结点可以“借”了，再向父结点“借”。如果父结点是黑色，为了让父结点在所在的子树中保证平衡（替换结点即将删除，少了一个黑色结点，子树也需要少一个）先把兄弟结点变为红色，再让父结点成为新的替换结点。
处理：
-
如果父结点为黑色
- 将兄弟结点变为红色
- 将父结点作为新的替换结点
- 重新进行删除结点的场景处理
-
如果父结点为红色
- 替换结点的父结点和替换结点的兄弟结点颜色交换
- 删除结点和替换结点的值交换后，删除替换结点
场景 2.2：替换结点是右子树
实际上是场景 2.1 的镜像操作。
场景 2.2.1：替换结点的兄弟结点为红色
处理：
- 将兄弟结点变为黑色
- 将父结点变为红色
- 对父结点进行右旋，得到场景 2.2.2.3
- 进行场景 2.2.2.3 的处理
场景 2.2.2：替换结点的兄弟结点为黑色
场景 2.2.2.1：替换结点的兄弟结点的左子结点为红色，右子结点任意颜色
处理
处理：
- 将兄弟结点的颜色变为父结点的颜色
- 将父结点变为黑色
- 将兄弟结点的左子结点变为黑色
- 对父结点进行右旋
场景 2.2.2.2：替换结点的兄弟结点的左子结点为黑色，右子结点为红色
处理：
- 将兄弟结点变为红色
- 将兄弟结点的右子结点设为黑色
- 对兄弟结点进行左旋，得到场景 2.2.2.1
- 进行场景 2.2.2.1 的处理
场景 2.2.2.3：替换结点的兄弟结点的子结点都为黑色
处理：
-
如果父结点为黑色
- 将兄弟结点变为红色
- 将父结点作为新的替换结点
- 重新进行删除结点的场景处理
-
如果父结点为红色
- 替换结点的父结点和替换结点的兄弟结点颜色交换
- 删除结点和替换结点的值交换后，删除替换结点