海明码原理与计算

一、设计

1.1 编码位数

以要发送1101这个数据为例子，假设校验码有m位。为了满足一位纠错能力（即知道哪一位出现了错误)，则m位纠错码101这个数据为例子，假设校验码有m位。为了满足一位纠错能力（即知道哪一位出现了错误)，则m位纠错码需要能表示4+m+1种状态（+1为没有错的状态）
因此可以推出,若有n位数据，m位校验码,计算插入的校验码位数的公式为：

$$ 2^m>m+n+1 $$

1.2 校验方式

使用异或进行校验
由异或的性质可知，如果一个数于它自己本身进行异或，结果为0
假设存在一组数（a1, a2, a3, a4） 设 p = a1 ^ a2 ^ a3 ^ a4
将p和（a1, a2, a3, a4）一起， 设接受端收到的数据为（a1' ，a2' ， a3' ，a4' ， p'）
若发生了1位错误 则 a1' ^ a2' ^ a3' ^ a4' ^ p' = 1，就代表（a1, a2, a3, a4）当中存在传输错误。但这样不能具体知道哪一位出现了错误，则可以使用相交分组的部分，就可以确定哪一位出错。

其中标黄的的位为每组的p，通过相交发部分，就可以确定每一位的内容，而具体分组方式，由1.3中接受端的状态码决定

1.3 状态码

在1101当中，组成的二进制值可以表示8种状态，如下（注意，这里的P3 P2 P1码值 并不是原始插入校验码数据，是接收方用来分辨状态的码值）

P3	P2	P1	value
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	2
0	1	1	3
1	0	0	4
1	0	1	5
1	1	0	6
1	1	1	7

为了让状态码值 和 接收的各组数据异或组成的值可以对应起来，则需要按1.2中的分组

二、编码

2.1 计算插入位数

$$ 2^m>m+n+1 $$

2.2 计算插入位置

　校验码在二进制串中的位置为2的整数幂，即１、2、4、8、16……..剩下的位置是信息码

	1	2	3	4	5	6	7
P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4

2.3 计算校验码值

从第$2^{n-1}$位开始校验，校验$2^{n-1}$位个，然后跳过$2^{n-1}$位个

	1	2	3	4	5	6	7
P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4
1	0	1	0	1	0	1

三、解码

接收数据后，进行如下计算
G3 = P3 ^ D2 ^ D3 ^D4
G2 = P2 ^ D1 ^ D3 ^D4
G1 = P1 ^ D1 ^ D2 ^D4
以{P3, P2, P1}, 组成的状态码，查询对应状态

G3	G2	G1	有问题的位
0	0	0	没有问题
0	0	1	1
0	1	0	2
0	1	1	3
1	0	0	4
1	0	1	5
1	1	0	6
1	1	1	7