机器学习06-逻辑回归-分类与决策边界

  在这篇博文以及之后博文中，开始介绍分类问题。在分类问题中，你要预测的变量 y 是离散的值，我们将学习一种叫做逻辑回归 (Logistic Regression) 的算法，这是目前最流行使用最广泛的一种学习算法。在分类问题中，我们尝试预测的是结果是否属于某一个类（例如正确或错误）。分类问题的例子有：判断一封电子邮件是否是垃圾邮件；判断一次金融交易是否是欺诈；之前我们也谈到了肿瘤分类问题的例子，区别一个肿瘤是恶性的还是良性的。

一，分类问题  

  我们从二元的分类问题开始讨论。我们将因变量(dependant variable)可能属于的两个类分别称为负向类（negative class）和正向类（positive class），则因变量y ∈{0,1}，其中 0 表示负向类，1 表示正向类。下图以肿瘤的恶性良性举例：

 如果我们要用线性回归算法来解决一个分类问题，对于分类，y 取值为 0或者 1，但如果你使用的是线性回归，那么假设函数的输出值可能远大于 1，或者远小于 0，即使所有训练样本的标签 y 都等于 0 或 1。尽管我们知道标签应该取值 0或者 1，但是如果算法得到的值远大于 1 或者远小于 0 的话，就会感觉很奇怪。所以我们在接下来的要研究的算法就叫做逻辑回归算法，这个算法的性质是：它的输出值永远在0到 1之间。顺便说一下，逻辑回归算法是分类算法，我们将它作为分类算法使用。有时候可能因为这个算法的名字中出现了“回归”使你感到困惑，但逻辑回归算法实际上是一种分类算法，它适用于标签 y 取值离散的情况，如：1 0 0 1。

  回顾在一开始提到的乳腺癌分类问题，我们可以用线性回归的方法求出适合数据的一条直线：

  根据线性回归模型我们只能预测连续的值，然而对于分类问题，我们需要输出 0 或 1，

  我们可以预测：

  当hθ大于等于 0.5 时，预测 y=1。

  当hθ小于 0.5 时，预测 y=0 对于上图所示的数据，这样的一个线性模型似乎能很好地完成分类任务。假使我们又观测到一个非常大尺寸的恶性肿瘤，将其作为实例加入到我们的训练集中来，这将使得我们获得一条新的直线。

为什么线性回归不适合做分类问题

 解答：这时，再使用 0.5 作为阀值来预测肿瘤是良性还是恶性便不合适了。可以看出，线性回归模型，因为其预测的值可以超越[0,1]的范围，并不适合解决这样的问题。我们引入一个新的模型，逻辑回归，该模型的输出变量范围始终在 0 和 1 之间。 

逻辑回归模型的假设是：hθ(x)=g(θTX)

其中：

X 代表特征向量

g 代表逻辑函数（logistic function）是一个常用的逻辑函数为 S 形函数（Sigmoid function）

公式为：

该函数的图像为：

二，决策边界

   现在讲下决策边界(decision boundary)的概念。这个概念能更好地帮助我们理解逻辑回归的假设函数在计算什么。

在逻辑回归中，我们预测：

 当 hθ 大于等于 0.5 时，预测 y=1

 当 hθ 小于 0.5 时，预测 y=0

 根据上面绘制出的 S 形函数图像，我们知道当

 z=0 时 g(z)=0.5

 z>0 时 g(z)>0.5

 z<0 时 g(z)<0.5

 又 z=θ^TX，即：

 θ^TX 大于等于 0 时，预测 y=1

 θ^TX 小于 0 时，预测 y=0

 

现在假设我们有一个模型：

并且参数 θ 是向量[-3 1 1]。 则当-3+x1+x2  大于等于 0，即 x1+x2 大于等于 3 时，模型将预测 y=1。我们可以绘制直线 x1+x2=3，这条线便是我们模型的分界线，将预测为 1 的区域和预测为 0 的区域分隔开。

假使我们的数据呈现这样的分布情况，怎样的模型才能适合呢？

 因为需要用曲线才能分隔 y=0 的区域和 y=1 的区域，我们需要二次方特征： 假设参数： h_Ø(x) = g(Ø0 + Ø1x₁ + Ø2x₂ + Ø3x₁² +Ø₄x₂² )是[-1 0 0 1 1]，则我们得到的判定边界恰好是圆点在原点且半径为 1 的圆形。

 我们可以用非常复杂的模型来适应非常复杂形状的判定边界。

  

   本博文参阅斯坦福大学机器学习教学，同时感谢黄海广博士的指导，转载请标明出处。