理解充分条件与必要条件

文章目录

  • 写在前面
  • 引入
    • 充分条件、必要条件、充要条件
    • 充分性、必要性
  • 定义
    • “当且仅当”(if and only if)
  • 补充
    • 充分必要条件的意义
    • 找准哪个命题是“充要条件”

写在前面

从高中的数学开始,我们便接触了充分条件与必要条件,但是当时的学习有点浅尝辄止,导致到了大学我都没有对这两个概念有一个系统的理解。最近拜读了蓝以中教授的《高等代数简明教程(上册)第二版》一书,感觉其中对充分条件与必要条件的阐述很好,于是在此记录一下,想深入学习的朋友可以看一下这本书的第17页,是关于充分条件与必要条件的详细内容。

引入

充分条件、必要条件、充要条件

以初中平面几何中的全等三角形的判定定理1(若两个三角形的三条对应边均相等,则这两个三角形全等)为例,首先引入充分条件与必要条件。

  • 必要条件: 若已知两个三角形全等,则这两个三角形三条边对应相等 ,也就是说:两个三角形三边对应相等是这两个三角形全等成立的 必要条件 。其中必要条件的含义是,若两个三角形全等,则必定需要 满足一个条件:“两三角形三边对应相等”,即只有满足了这个条件,这两个三角形全等才成立。

  • 充分条件: 若已知两三角形三边对应相等,则两三角形全等 ,也就是说:两个三角形三边对应相等是这两个三角形全等成立的 充分条件 。其中充分条件的含义是,若两三角形三边对应相等,则有 充分理由 断定“这两个三角形全等”成立。

  • 充分必要条件 结合上述两部分论断,我们可以得到如下的命题:两三角形全等的 充要条件 是这两个三角形的三边对应相等。

充分性、必要性

  • 必要性: 常用箭头 ⟹ \Longrightarrow 表示,即由结论推条件(假设两三角形全等成立,来证明三角形三边对应相等)。

  • 充分性: 常用箭头 ⟸ \Longleftarrow 表示,即由条件推出结论(假设两三角形三边对应相等成立,来证明两三角形全等)。

定义

有了上面的例子,很容易得到 充分条件必要条件 等的定义:

A A A B B B是两个命题,并且有: A A A成立的充要条件是 B B B成立,则:

  • 必要条件: A A A成立则 B B B成立,即 B B B成立是 A A A成立的必要条件。

  • 充分条件: B B B成立则 A A A成立,即 B B B成立是 A A A成立的充分条件。

  • 必要性: ⟹ \Longrightarrow 代替,即“假定 A A A成立,去证明 B B B成立”(结论推条件)。

  • 充分性: ⟸ \Longleftarrow 代替,即“假定 B B B成立,去证明 A A A成立”(条件推结论)。

“当且仅当”(if and only if)

有时候我们也会用到 “当且仅当” 一词来表示 充要条件 。仍使用上面所举三角形全等的例子,就可以说:两三角形全等 当且仅当 两三角形三边对应相等。也可以一般化为: A A A成立当且仅当 B B B成立,这时:

  • 必要条件: 仅当 B B B成立时 A A A成立( B B B成立是 A A A成立所必定需要的)。

  • 充分条件: B B B成立时 A A A成立( B B B成立能充分说明 A A A成立)。

补充

充分必要条件的意义

A A A成立的充要条件是 B B B成立,说明命题 A A A B B B相互等价的,是同一现象(事物)的不同表现形式。
也即:若 A A A成立的充要条件是 B B B成立,则得到 A A A B B B互为充要条件

找准哪个命题是“充要条件”

实际运用中,常会出现两种十分相似的表述,但是二者仍有很大区别,即

  • A A A成立的充要条件是 B B B
  • A A A成立是 B B B成立的充要条件。

在第一种表述中,可以认为 A A A是“结论”, B B B是“条件”;而第二种表述恰恰相反。如果在实际分析中出现了第二种表述,就不能简单地认为 ‘ ‘ A ⟹ B " ``A\Longrightarrow B" AB"是必要性了,还需要找到哪个命题是“条件”,哪个命题是“结论”,然后进行进一步的分析。

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