理解充分条件与必要条件

写在前面

从高中的数学开始，我们便接触了充分条件与必要条件，但是当时的学习有点浅尝辄止，导致到了大学我都没有对这两个概念有一个系统的理解。最近拜读了蓝以中教授的《高等代数简明教程（上册）第二版》一书，感觉其中对充分条件与必要条件的阐述很好，于是在此记录一下，想深入学习的朋友可以看一下这本书的第17页，是关于充分条件与必要条件的详细内容。

引入

充分条件、必要条件、充要条件

以初中平面几何中的全等三角形的判定定理1（若两个三角形的三条对应边均相等，则这两个三角形全等）为例，首先引入充分条件与必要条件。

• 必要条件： 若已知两个三角形全等，则这两个三角形三条边对应相等 ，也就是说：两个三角形三边对应相等是这两个三角形全等成立的 必要条件 。其中必要条件的含义是，若两个三角形全等，则必定需要 满足一个条件：“两三角形三边对应相等”，即只有满足了这个条件，这两个三角形全等才成立。

• 充分条件： 若已知两三角形三边对应相等，则两三角形全等 ，也就是说：两个三角形三边对应相等是这两个三角形全等成立的 充分条件 。其中充分条件的含义是，若两三角形三边对应相等，则有 充分理由 断定“这两个三角形全等”成立。

• 充分必要条件 结合上述两部分论断，我们可以得到如下的命题：两三角形全等的 充要条件 是这两个三角形的三边对应相等。

充分性、必要性

• 必要性： 常用箭头 $⟹$ 表示，即由结论推条件（假设两三角形全等成立，来证明三角形三边对应相等）。

• 充分性： 常用箭头 $⟸$ 表示，即由条件推出结论（假设两三角形三边对应相等成立，来证明两三角形全等）。

定义

有了上面的例子，很容易得到 充分条件 、 必要条件 等的定义：

设$A$、$B$是两个命题，并且有：$A$成立的充要条件是$B$成立，则：

• 必要条件： 若$A$成立则$B$成立，即$B$成立是$A$成立的必要条件。

• 充分条件： 若$B$成立则$A$成立，即$B$成立是$A$成立的充分条件。

• 必要性： 用 $⟹$ 代替，即“假定$A$成立，去证明$B$成立”(结论推条件)。

• 充分性： 用 $⟸$ 代替，即“假定$B$成立，去证明$A$成立”(条件推结论)。

“当且仅当”（if and only if）

有时候我们也会用到 “当且仅当” 一词来表示 充要条件 。仍使用上面所举三角形全等的例子，就可以说：两三角形全等 当且仅当 两三角形三边对应相等。也可以一般化为：$A$成立当且仅当$B$成立，这时：

• 必要条件： 仅当$B$成立时$A$才成立（$B$成立是$A$成立所必定需要的）。

• 充分条件： 当$B$成立时$A$成立（$B$成立能充分说明$A$成立）。

补充

充分必要条件的意义

$A$成立的充要条件是$B$成立，说明命题$A$与$B$是相互等价的，是同一现象（事物）的不同表现形式。
也即：若$A$成立的充要条件是$B$成立，则得到$A$与$B$互为充要条件。

找准哪个命题是“充要条件”

实际运用中，常会出现两种十分相似的表述，但是二者仍有很大区别，即

• $A$成立的充要条件是$B$。
• $A$成立是$B$成立的充要条件。

在第一种表述中，可以认为$A$是“结论”，$B$是“条件”；而第二种表述恰恰相反。如果在实际分析中出现了第二种表述，就不能简单地认为$‘‘A⟹B"$是必要性了，还需要找到哪个命题是“条件”，哪个命题是“结论”，然后进行进一步的分析。