与素数有关的一些性质及证明（一）

写在前面

最近学习了丘维声教授的课程《数学的思维方式与创新》，总结一下课程中关于素数的一些主要性质及证明。

素数、合数

设$m$是大于$1$的整数，如果$m$的正因数只有$1$和$m$自身，那么称$m$是一个素数（或质数），否则称$m$是合数。

定理：带余除法

任给$a,b\in \mathbb{Z}$，且$b\ne 0$，则存在唯一的一对整数$q,r$，使得
$$a=qb+r,0⩽r<|b|,$$
其中，$q$和$r$分别称为$a$被$b$除所得的商和余数。

整除、因数

对于整数$a,b$，如果存在整数$c$，使得
$$a=cb,$$
那么称$b$整除$a$，记作$b|a$，否则，称$b$不能整除$a$，记作$b\nmid a$。当$b|a$时，$b$称为$a$的一个因数，$a$称为$b$的一个倍数。

• 任给$a\in \mathbb{Z}$，由于$0=0a$，因此$a|0$，特别地，$0|0$。
• 整除具有反身性，传递性，但是没有对称性。

$★$命题：除数整除被除数的倍数和

在$\mathbb{Z}$中，若$b|a_i,i=1,2,\cdots ,s$，则对任意整数$u_1,u_2,\cdots ,u_s$，有
$$b|u_1{a}_1+u_2{a}_2+\cdots +u_s{a}_s.$$

公因数、最大公因数

• 如果$c|a$且$c|b$，那么称$c$是$a$与$b$的一个公因数（公约数）。

• 整数$a$与$b$的一个公因数$d$如果满足：$a$与$b$的任一公因数都能整除$d$，那么称$d$是$a$与$b$的一个最大公因数（最大公约数）。

• 约定： 用$(a,b)$表示两整数间正的最大公因数。

• 任给$a\in \mathbb{Z}$，由于$a|a$且$a|0$，所以$a$是$a$与$0$的一个公因数，任取$a$与$0$的一个公因数$c$，显然$c|a$，所以$a$是$a$与$0$的一个最大公因数。

• 特别地，$0$是$0$与$0$的最大公因数。

除数与被除数的最大公因数等于除数与余数的最大公因数

在$\mathbb{Z}$中如果有等式
$$a=qb+r$$
成立，那么$d$是$a$与$b$的最大公因数当且仅当$d$是$b$与$r$的最大公因数。

辗转相除法:求两整数最大公因数的统一方法

任给两个整数$a,b$，都存在它们的一个最大公因数$d$，并且$d$可以表示成$a$与$b$的倍数和，即存在整数$u,v$，使得
$$ua+vb=d.$$

互素

• 设$a,b\in \mathbb{Z}$，如果$(a,b)=1$，那么称$a$与$b$互素。
• 两个整数互素当且仅当它们的公因数只有$\pm 1$。

$★★$定理：两整数互素的充要条件

两整数$a,b$互素的充要条件是：存在整数$u,v$，使得
$$ua+vb=1.$$

证明

• 必要性：由辗转相除法定理即可得到，下证充分性。

• 充分性：设$ua+vb=1$成立，只需证明整数$a,b$互素，即证明$(a,b)=1$。任取$a,b$的一个公因数$c$，则有$c|a,c|b$，由定理：除数整除被除数的倍数和，可以得到：$c|ua+vb$，所以$c|1$，证毕。

互素整数的重要性质及推广

1. 在$\mathbb{Z}$中，如果$a|bc$，且$(a,b)=1$，那么$a|c$。

   证明：

   若$c=0$，$a|c$显然成立；若$c\ne 0$，利用整数互素的充要条件得到：存在整数$u,v$，使得$ua+vb=1$，两边同乘以$c$得到：$uac+vbc=c$，而显然有$a|a,a|bc$，根据命题：除数整除被除数倍数和，得到$a|(uc)a+v(bc)⟹a|c$.

2. 在$\mathbb{Z}$中，如果$a|c,b|c$，且$(a,b)=1$，那么$ab|c$。

   证明：

   根据$a|c$，有整数$h$使得$c=ha$。由于$b|c$，因此$b|ha$。又由于$(a,b)=1$，因此由性质1得到$b|h$，从而有整数$g$使得$h=gb$，所以有$c=g(ba)$，即得到$ab|c$。

   推广：

   在$\mathbb{Z}$中，如果$a_i|c,i=1,2,\cdots ,s$，且$a_1,a_2,\cdots ,a_s$两两互素，那么$a_1{a}_2\cdots a_s|c$.

3. 在$\mathbb{Z}$中，如果$(a,c)=1$，且$(b,c)=1$，那么$(ab,c)=1$。

   证明：

   根据$(a,c)=1,(b,c)=1$，得到：有整数$u_i,v_i,i=1,2$，使得
   $$\{\begin{array}{l}{u}_{1}a+v_{1}b=1\\ u_{2}b+v_{2}c=1\end{array}$$
   将上述两式左右两边分别相乘，得到
   $$(u_1{u}_2)ab+(u_{1}a{v}_2+v_1{u}_{2}b+v_1{v}_{2}c)c=1$$
   于是由整数互素的充要条件得到：$(ab,c)=1$.

   推广：

   在$\mathbb{Z}$中，如果$(a_i,c)=1,i=1,2,\cdots ,s$，那么$(a_1{a}_2\cdots a_s,c)=1$。

素数的重要性质

设$p$是大于$1$的整数，则下列命题等价：

1. $p$是素数；
2. 对任意整数$a$，都有$p|a$或者$(p,a)=1$；
3. 对整数$a,b$，从$p|ab$可以推出：$p|a$或者$p|b$；
4. $p$不能分解成两个比$p$小的正整数的乘积。

证明

• 1->2：由于$p$是素数，所以有$(p,a)=1$或者$(p,a)=p$，而后者可得出$p|a$.
• 2->3：由于$p|ab$，假设$p\nmid a$，则由性质2，有$(p,a)=1$，再由整数互素的性质1，得到$p|b$。
• 3->4：假设$p=p_1{p}_2,0<p_1<p,0<p_2<p$，则由整除的反身性得到$p|p_1{p}_2$，由性质3得到：$p|p_1$或者$p|p_2$，矛盾。
• 4->1：任取$p$的一个正因数$a$，则存在正整数$b$，使得$p=ba$，根据性质4，$b=p$或者$a=p$，当$b=p$时，$a=1$，因此$p$的正因数只有$1,p$，从而$p$为素数。

算术基本定理

任一大于$1$的整数$a$都能唯一地分解成有限多素数地乘积。

其中，唯一性是指：如果$a$有两个这样的分解式：
$$a=p_1{p}_2\cdots p_s=q_1{q}_2\cdots q_t,$$
则一定有$s=t$，且适当排列因数地次序之后有：
$$p_i=q_i,i=1,2,\cdots ,s.$$