中国剩余定理—— 一次同余方程组解法

写在前面

总结一下中国剩余定理，即一次同余方程组的解的存在性分析及计算，为之后的欧拉函数定理部分做铺垫。这部分内容在南宋时期由数学家秦九韶最先得出。

P.S. 本文具体内容可查看《数学的思维方式与创新》，丘维声著。在该书的第26页下面关于一次同余方程组的其他解的求解过程部分有一点小问题，应该是$d\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$，书中那样写成了$c\equiv d(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$，理论上讲没有问题，但是写成$d\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$更符合实际。

问题的提出

一个连的士兵三三数余2，五五数余4，七七数余2，问士兵有多少人。

设士兵共有$x$人，则可得到：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\\ x\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5),\\ x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),\end{array}$$

上述的方程组称为一次同余方程组，下面推导其计算方法。

一次同余方程组的计算过程

将上述问题一般化，有：

设$m_1,m_2,\cdots ,m_s$是两两互素且均大于1的整数，$b_1,\cdots ,b_s$是任意给定的整数，考虑如下的一次同余方程组：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1),\\ x\equiv b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2),\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x\equiv b_s(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_s),\end{array}$$

由于$m_1,\cdots ,m_s$两两互素，应用互素的性质3的推广（可参见与素数有关的一些性质及证明（一））可以得到：

对$i\in \{1,2,\cdots ,s\}$，有

$$\left(m_i,\prod _{j\ne i}{m}_j\right)=1,$$

从而，存在$u_i,v_i\in \mathbb{Z}$，使得

$$u_i{m}_i+v_i\prod _{j\ne i}{m}_j=1,(\text{整数互素的充要条件})$$

于是得到

$$v_i\prod _{j\ne i}{m}_j=1-u_i{m}_i,$$

所以有

$$\{\begin{array}{l}{v}_i\prod _{j\ne i}{m}_j\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i),\\ v_i\prod _{j\ne i}{m}_j\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k),(k\ne i)\end{array}$$

显然，要构造余数为$b_i$，只需将上式左右同乘以$b_i$并求和即可，于是令

$$c=b_1{v}_1\prod _{j\ne i}{m}_j+\cdots +b_i{v}_i\prod _{j\ne i}{m}_j+\cdots +b_s{v}_s\prod _{j\ne i}{m}_j,\text{\hspace{1em}(1)}$$

则可得

$$c\equiv b_{1}0+\cdots +b_{i}1+\cdots +b_{s}0\equiv b_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i),(i=1,2,\cdots ,s)$$

所以，由$(1)$式构造的$c$是一次同余方程组的一个解。

下面寻找这个方程组的其他解。

设$d$是方程组的另解，则显然
$$d\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i),(i=1,2,\cdots ,s)$$

即

$$m_i|d-c,(i=1,2,\cdots ,s)$$

由于$m_1,\cdots ,m_s$两两互素，应用互素的性质2的推广（可参见与素数有关的一些性质及证明（一））可以得到

$$m_1{m}_2\cdots m_s|d-c,$$

于是可以得到

$$d\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1{m}_2\cdots m_s).$$

中国剩余定理

根据上面的讨论，显然可以得到下述定理：

设$m_1,m_2,\cdots ,m_s$是两两互素且均大于1的整数，$b_1,\cdots ,b_s$是任意给定的整数，一次同余方程组

$$\{\begin{array}{l}x\equiv b_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1),\\ x\equiv b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2),\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x\equiv b_s(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_s),\end{array}$$

在$\mathbb{Z}$中有解，其全部解是

$$c+k{m}_1{m}_2\cdots m_s,k\in \mathbb{Z},$$

其中

$$c=b_1{v}_1\prod _{j\ne i}{m}_j+\cdots +b_i{v}_i\prod _{j\ne i}{m}_j+\cdots +b_s{v}_s\prod _{j\ne i}{m}_j,$$

$v_i$满足

$$u_i{m}_i+v_i\prod _{j\ne i}{m}_j=1,(i=1,2,\cdots ,s).$$

一次同余方程组的求解

先求出$v_i(i=1,2,\cdots ,s)$，对$m_i$和$\prod _{j\ne i}{m}_j$作辗转相除法，将二者的最大公因数$1$表示成二者的倍数和，此时$\prod _{j\ne i}{m}_j$的倍数为$v_i$。

例题求解

下面对上面的士兵人数问题进行求解。

首先计算$3$和$5\times 7=35$的最大公因数，作辗转相除法得

$$35=11\times 3+2,3=1\times 2+1,$$

所以

$$1=3-1\times 2=3-1\times (35-11\times 3)=12\times 3+(-1)\times 35$$

得到$v_1=-1$;

以此类推，分别得到$v_2=1,v_3=1$。

所以，得到此方程组的全部解是
$$\begin{array}{rl}d=& c+m_1{m}_2{m}_{3}k\\ =& 2\times (-1)\times 35+4\times 1\times 21+2\times 1\times 15+3\times 5\times 7k\\ =& 44+105k,(k\in \mathbb{Z})\end{array}$$

由于一个连有一百多名士兵，所以取$k=1$，得到该连有$149$名士兵。

补充

定理中的条件"$m_1,m_2,\cdots ,m_s$是两两互素的"是必要的，整个定理的推导都是围绕互素这个条件展开，所以如果没有这个条件，方程组可能没有解。