速算的一点研究

速算是一种适合心算的计算方法的集合。人类短时记忆力有限,大多数人记不住超过7个数字。一次2位数乘2位数,就会有8个中间数需要记忆,所以大部分未经训练的人不能心算2位数乘两位数。
以下是一些普通人可以快速掌握的技巧

从左向右算

从左向右算,算一位报一位,通过忘记高位来减少短时记忆量是最简单有效的速算方法。通过从左向右算,可以很快掌握4位-7位数的加减法。

加法

从左到右加法的关键技巧,在于提前看后一位是否进位,其实质是凑十加法。

凑十加法,是可以幼儿教学都常用的一种加法做法,公式为:
a + b > 10 则取 10 + (b - c)其中c = 10 - a
这种方法把超过十的加法变成“十以内的减法”和“十加上几就是十几”。注意a, c只有5对(1和9,2和8,3和7,4和6,5和5)所以需要记忆的并不多。

有凑十法的基础,我们来计算123+789。

  • 1+7=8,记住8
  • 提前看下2 + 8>10,则刚才的8+1得9,报出9
  • 凑十法公式加变减,8 - (10 - 2) = 0, 记住0
  • 提前看下3 + 9>10,则刚才的0+1得1,报出1
  • 9 - 7 = 2,则报出2
    答案是912

减法

左到右减法技巧,同样也是凑十法。不过,它有一个简单的做法,用999这样的数求补数后,转成加法计算。高位用9减,再做加法。最后一位用10减,再做加法。

不进位的数表示法,我们后面会用99/10来表示前两位是9,最后一位是10的数,这种数称为不进位的表示法,每个大于10的数前有一个/表示只有一位。后面乘法会大量使用。

我们来做21123 - 789,本题原理是:

99/10 - 789 = 211 
20123 + 211 = 20334
  • 观察减数789只有3位,我们从第三位百位开始计算。
  • 1 - 7 不足,则万位直接报2,千位减去1后得0,报0
  • 百位用9 - 7记下结果2,与原位1相加得 3,报3
  • 十位2-8变成9 - 8记下结果1,与原位2相加得 3,报3
  • 个位是最后一位,则用10 - 9得1,与原位3相加得4

乘法

同样使用左到右乘法技巧,用公式展开成大数+小数的加减法。
ab * cd = ac + ad + bc + bd
这个公式比较复杂,我们一般不使用,只看几个特殊情况。

  1. 当a = c,公式变成a * a + a*(b + d) + b*d
    特别a = 1时,变成了100 + 10 * (b + d) + b*d也就是个位相加,百位加1,个位相乘。
    例如13 * 18 = 1/3+8/3*8 = 1/11/24,心算时从左向右报数依次报1+1,1+2,4即234,每次最多需要心里记下4个数。

    特别当b + d = 10 时,可以简化为a * (a + 1) + b*d 例如26 * 24 = 6//24 = 624, 65 * 65 = 42//25 = 4240

  2. b = d时,公式变成ac + (a + c) b + b * b.
    特别当b = 1时 a * c + (a + c) + 1,例如51 * 71 = 35/12/1 = 3621
    特别当 a + c = 10 时,可以简化为 a * c + 10*b + b * b。例如83 * 23 = 16+3//9 = 190946 * 66 = 24/60/36 = 3036

总得来说,乘法这个公式只适合于有一位为1(如13 * 14,31 * 81)或一位相同,另一们相加为10(如46 * 44,23 * 83)的情况。下面会有另一个公式适合一般情况。

提高整体记忆能力。

记忆并不按数字来记忆,只是我们人为把它分隔了。
所以,通过学习两位数加减法,从左到右,每两位数计算一次的方法,可以提高短时记忆能力。
这个需要背诵99相加表,大约99x98/2,约4851项
经过训练,人可以心算7-10位加法。

一般的乘法

这种简化的思路是1位数乘2位数比2位数乘2位数要简单。
通过把两个两位数(记为2x2模式),分解为2x1/2x1模式,可以简减记忆量,在不需要精确计算时,可以用这个方法求近似解。21 * 88 = 20 * 89 + 1 *(89 - 20)= 178 + 78 = 1858. 不需要精确时,只需要计处20 * 89 = 1780 + 1 * (80 - 20) + 8 = 1848

公式为:a * b = (a - x) * (b + x) + (b - a + x) * x 其中关键是a - x或b+x需要得到一个整十的数,则x小于5。当a和b比较接近,b - a会很小,如果只有个位,就会变成一个位数乘法。

我们先看一个特殊情况,当十位相同时,34 * 39取x = 1时 (34 - 1) + (39 + 1) + (39 - 34 + 1) * 1 = 33 * 40 + 6 = 1326。

心算时,33*4=132(报出13,记住2), 40(对齐十) - 34 = 6(记住6), 6 * 1 = 6(报出26)。

一般情况72 * 85 = 7 * 87//15*2=609//30 = 6120

注意一般情况下公式有一个变体,特别是个位数较小时,比如37 * 62,如果计算35 * 60就会出现错误。因为当两个数相差越小,乘积远大,相差越大,乘积越小。如果我们先算较大结果,就需要减去差,减法要比加法难算一点。正确利用公式需要扩大两乘数的差,而不是减小。
30 * 69=2070 < 37 * 62 = 207//224=2294 < 39 * 60 = 2340

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